A
Soient \(a\) et \(z\) deux réels. Soit \(f\) une fonction de classe \(C^{n+1}\) sur le segment d’extrémités \(a\) et \(z\) et \(\phi\) un polynôme de degré \(n\). Prouver que pour tout \(t\) compris dans l’intervalle \([0,1]\), \[{d\over dt}\sum_{m=1}^n (-1)^m (z-a)^m \phi^{(n-m)}(t) f^{(m)}\left(a+t(z-a)\right)\]\[= -(z-a) \phi^{(n)}(t) f'\left(a+t(z-a)\right) + (-1)^n (z-a)^{n+1} \phi(t) f^{(n+1)}\left(a+t(z-a)\right)\]
Montrer que la fonction \(t\mapsto {t \over e^t-1}\) est prolongeable par continuité en zéro, que son prolongement est indéfiniment dérivable et admet des développements limités en zéro de la forme: \[1 - {t/2} + {b_1 t^2 \over 2!} + {b_2 t^4 \over 4!} + \dots + {b_n t^{2n} \over (2n)!} +o(t^{2n+1}),\] où les \(b_i\) sont des réels qu’on ne cherchera pas à déterminer.
Montrer que la dérivée \(n^{i\grave eme}\) en zéro, notée \(\phi_n(z)\), de la fonction \(t\mapsto t {e^{zt}-1 \over e^t-1}\) est un polynôme en \(z\) de degré \(n\) et que \[\phi_n(z)= z^n - {1\over 2}nz^{n-1} + C_n^2 b_1 z^{n-2} + C_n^4 b_2 z^{n-4} + \dots + C_n^{2N} b_N z^{n-2N}\] où \(N=E({n-1\over2})\), \(E\) désignant la fonction partie entière.
Prouver que \(nz^{n-1}=\phi_n(z+1) - \phi_n(z)\)