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Soient $a$ et $z$ deux réels. Soit $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ sur le segment d’extrémités $a$ et $z$ et $\phi$ un polynôme de degré $n$. Prouver que pour tout $t$ compris dans l’intervalle $[0,1]$, $${d\over dt}\sum_{m=1}^n (-1)^m (z-a)^m \phi^{(n-m)}(t) f^{(m)}\left(a+t(z-a)\right)$$$$= -(z-a) \phi^{(n)}(t) f'\left(a+t(z-a)\right) + (-1)^n (z-a)^{n+1} \phi(t) f^{(n+1)}\left(a+t(z-a)\right)$$

Montrer que la fonction $t\mapsto {t \over e^t-1}$ est prolongeable par continuité en zéro, que son prolongement est indéfiniment dérivable et admet des développements limités en zéro de la forme: $$1 - {t/2} + {b_1 t^2 \over 2!} + {b_2 t^4 \over 4!} + \dots + {b_n t^{2n} \over (2n)!} +o(t^{2n+1}),$$ où les $b_i$ sont des réels qu’on ne cherchera pas à déterminer.

Montrer que la dérivée $n^{i\grave eme}$ en zéro, notée $\phi_n(z)$, de la fonction $t\mapsto t {e^{zt}-1 \over e^t-1}$ est un polynôme en $z$ de degré $n$ et que $$\phi_n(z)= z^n - {1\over 2}nz^{n-1} + C_n^2 b_1 z^{n-2} + C_n^4 b_2 z^{n-4} + \dots + C_n^{2N} b_N z^{n-2N}$$ où $N=E({n-1\over2})$, $E$ désignant la fonction partie entière.

Prouver que $nz^{n-1}=\phi_n(z+1) - \phi_n(z)$