L2 Analyse Suite et série de fonctions Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 2 questions

exo7 4561

On note RR l’ensemble des fractions rationnelles continues sur [0,1][0,1] et pour m,n∈Nm,n\in\N :

Rm,n={f∈R tel que ∃ P,Q∈R[X] tel que deg⁡(P)≤m, deg⁡(Q)≤n et f=P/Q}R_{m,n} = \{f\in R\text{ tel que }\exists\ P,Q\in\R[X]\text{ tel que }\deg(P)\le m,\ \deg(Q)\le n\text{ et }f=P/Q\}.

1

RR est-il un espace vectoriel ? Si oui en trouver une base. Même question pour Rm,nR_{m,n}.

2

Soient m,nm,n fixés. On note d=inf⁡{∥g−f∥, f∈Rm,n}d = \inf\{\|g-f\|,\ f\in R_{m,n}\} où gg désigne une fonction continue de [0,1][0,1] dans R\R et ∥h∥=sup⁡{∣h(x)∣, x∈[0,1]}{\|h\| = \sup\{|h(x)|,\ x\in[0,1]\}}. Montrer qu’il existe r0∈Rm,nr_0\in R_{m,n} tel que ∥g−r0∥=d\|g-r_0\| = d.

Exercice 7qAz

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