On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et pour \(m,n\in\N\) :
\(R_{m,n} = \{f\in R\text{ tel que }\exists\ P,Q\in\R[X]\text{ tel que }\deg(P)\le m,\ \deg(Q)\le n\text{ et }f=P/Q\}\).
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\(R\) est-il un espace vectoriel ? Si oui en trouver une base. Même question pour \(R_{m,n}\).
2
Soient \(m,n\) fixés. On note \(d = \inf\{\|g-f\|,\ f\in R_{m,n}\}\) où \(g\) désigne une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\R\) et \({\|h\| = \sup\{|h(x)|,\ x\in[0,1]\}}\). Montrer qu’il existe \(r_0\in R_{m,n}\) tel que \(\|g-r_0\| = d\).