Pour tout entier naturel \(n\), \(f_n\) est définie sur \(\Rr\) et impaire.

Convergence simple sur \(\Rr\). Soit \(x\in\Rr\).

Si \(x =0\), pour tout entier naturel \(n\), \(f_n(x)= 0\) et donc \(\lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(x)=0\).

Si \(x\neq0\), \(f_n(x)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{nx}\) et de nouveau \(\lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(x)=0\).

Convergence uniforme sur \(\Rr\). On peut noter tout de suite que pour tout \(n\in\Nn^*\), \(f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}\) et donc \(\|f_n\|_\infty\geqslant\frac{1}{2}\). On en déduit que \(\|f_n\|_\infty\) ne tend pas vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Si on n’a pas remarqué ce qui précède, on étudie la fonction \(f_n\) sur \(\Rr^+\) (\(f_n\) étant impaire) dans le but de déterminer \(\underset{x\in\Rr}{\text{sup}}|f_n(x) - 0|\).

Soit \(n\in\Nn^*\). La fonction \(f_n\) est dérivable sur \(\Rr^+\) et pour tout réel positif \(x\), \(f_n'(x) = n\frac{(1+n^2x^2)-x(n^2x)}{(1+n^2x)^2}=\frac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x)^2}\). Par suite, la fonction \(f_n\) est croissante sur \(\left[0,\frac{1}{n}\right]\) et décroissante sur \(\left[\frac{1}{n},+\infty\right[\).

Puisque la fonction \(f_n\) est positive sur \(\Rr^+\), \(\underset{x\in\Rr}{\text{sup}}|f_n(x) - 0|= f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}\) qui ne tend pas vers \(0\) quand \(n\) tend vers l’infini.

Convergence uniforme et localement uniforme sur \(]0,+\infty[\). La suite de fonctions \((f_n)_{n\in\Nn}\) ne converge toujours pas uniformément vers la fonction nulle sur \(]0,+\infty[\) car pour \(n\geqslant1\), \(\underset{x\in\Rr}{\text{sup}}|f_n(x) - 0|=\frac{1}{2}\).

Soit \(a\) un réel strictement positif fixé. Soit \(n>\frac{1}{a}\). On a \(0<\frac{1}{n}<a\) et donc la fonction \(f_n\) est décroissante sur \([a,+\infty[\). Par suite, pour tout réel \(x\) de \([a,+\infty[\), \(0\leqslant f_n(x)\leqslant f_n(a)\).

Donc \(\underset{x\in[a,+\infty[}{\text{sup}}|f_n(x) - 0|= fn(a)\) pour \(n>\frac{1}{a}\). On en déduit que \(\lim_{n \rightarrow +\infty}\underset{x\in[a,+\infty[}{\text{sup}}|f_n(x) - 0|=0\). Donc la suite de fonctions \((f_n)_{n\in\Nn}\) converge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle de la forme \([a,+\infty[\) où \(a > 0\) et en particulier converge localement uniformément vers la fonction nulle sur \(]0,+\infty[\) mais ne converge pas uniformément vers la fonction nulle sur \(]0,+\infty[\). Convergence simple sur \(\Rr\). Soit \(x\in\Rr\). On sait que \(e^x =\lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\) et donc la suite \((f_n)_{n\in\Nn}\) converge simplement sur \(\Rr\) vers la fonction constante \(f~:~x\mapsto1\).

Convergence uniforme sur \(\Rr\) et \(\Rr^+\). \(\lim_{x \rightarrow -\infty}|f_n(x)-f(x)| = +\infty\). Par suite, pour tout entier naturel \(n\), la fonction \(|f_n-f|\) n’est pas bornée sur \(\Rr\). La suite de fonctions \((f_n)_{n\in\Nn}\) ne converge donc pas uniformément vers \(f\) sur \(\Rr\).

\(\lim_{x \rightarrow +\infty}|f_n(x)-f(x)| = 1\) et donc \(\underset{x\in[0,+\infty[}{\text{sup}}|f_n(x)-f(x)|\geqslant1\). La suite de fonctions \((f_n)_{n\in\Nn}\) ne converge donc pas uniformément vers \(f\) sur \(\Rr^+\).

Convergence localement uniforme sur \(\Rr\). Soit \([a,b]\) un segment de \(\Rr\).

Pour \(n\in\Nn^*\), posons \(g_n= f_n- f\). La fonction \(g_n\) est dérivable sur \(\Rr\) et pour \(x\in\Rr\)

\(g_n'(x)=e^{-x}\left(-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}\right)=-\frac{e^{-x}x^n}{n!}\).

Si \(n\) est pair, la fonction \(g_n\) est décroissante sur \(\Rr\) et s’annule en \(0\).

Si \(n\) est impair, la fonction \(g_n\) est croissante sur \(\Rr^-\), décroissante sur \(\Rr^+\) et s’annule en \(0\).

Dans les deux cas, si \(x\in[a,b]\), \(|g_n(x)|\leqslant\text{Max}\{|g_n(a)|,|g_n(b)|\}\) avec égalité effectivement obtenue pour \(x=a\) ou \(x=b\). Donc

\(\underset{x\in[a,b]}{\text{sup}}|gn(x)|=\text{Max}\{|g_n(a)|,|g_n(b)|\}=\frac{g_n(a)+g_n(b)+|g_n(a)-g_n(b)|}{2}\).

Cette dernière expression tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). On en déduit que la suite de fonctions \((f_n)_{n\in\Nn}\) converge uniformément vers \(f\) sur tout segment \([a,b]\) contenu dans \(\Rr\) ou encore

Pour \(x\) réel et \(n\) entier naturel, on pose \(f_n(x) =n(1-x)^n\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\).

Convergence simple. Soit \(x\) réel fixé. \(\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)=0\Leftrightarrow x\in 2\Zz\). Dans ce cas, \(\lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(x) =0\).

Si \(x\notin 2\Zz\), la suite \((f_n(x))_{n\in\Nn}\) converge \(\Leftrightarrow\) la suite \((n(1-x)^n)_{n\in\Nn}\) converge \(\Leftrightarrow |1-x| < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 2\). Dans ce cas, \(\lim_{n \rightarrow +\infty}f_n(x)=0\).

Convergence uniforme sur \([0,2]\). Soit \(n\) un entier naturel non nul fixé.

\(\underset{x\in[0,2]}{\text{sup}}|f_n(x)-0|\geqslant\left|f_n\left(\frac{1}{n}\right)\right|=n\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\).

Cette dernière expression est équivalente à \(\frac{\pi}{2e}\) en \(+\infty\) et en particulier ne tend pas vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

\[\]

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