Soit $\begin{array}{cccc} \varphi~:&\Rr^3&\rightarrow&\mathcal{A}(\Rr^3)\\ &\overrightarrow{\omega}&\mapsto&f_{\overrightarrow{\omega}} \end{array}$ .

Vérifions que $\varphi\in\mathcal{L}(\Rr^3,\mathcal{A}(\Rr^3))$ . Soient $(\lambda_1,\lambda_2)\in\Rr^2$ et $(\overrightarrow{\omega}_1,\overrightarrow{\omega}_2)\in(\Rr^3)^2$ . Pour tout $\overrightarrow{x}\in\Rr^3$ ,

$\begin{align*}\ensuremath \left(\varphi(\lambda_1\overrightarrow{\omega}_1+\lambda_2\overrightarrow{\omega}_2)\right)\left(\overrightarrow{x}\right)&=f_{\lambda_1\overrightarrow{\omega}_1+\lambda_2\overrightarrow{\omega}_2}\left(\overrightarrow{x}\right)=\left(\lambda_1\overrightarrow{\omega}_1+\lambda_2\overrightarrow{\omega}_2\right)\wedge=\lambda_1\left(\overrightarrow{\omega}_1\wedge\overrightarrow{x}\right)+\lambda_2\left(\overrightarrow{\omega}_2\wedge\overrightarrow{x}\right)\\ &=\lambda_1f_{\overrightarrow{\omega}_1}\left(\overrightarrow{x}\right)+\lambda_2f_{\overrightarrow{\omega}_2}\left(\overrightarrow{x}\right)=\left((\lambda_1\varphi(\overrightarrow{\omega}_1)+\lambda_2\varphi(\overrightarrow{\omega}_2)\right)\left(\overrightarrow{x}\right) \end{align*}$

et donc $\varphi(\lambda_1\overrightarrow{\omega}_1+\lambda_2\overrightarrow{\omega}_2)=\lambda_1\varphi(\overrightarrow{\omega}_1)+\lambda_2\varphi(\overrightarrow{\omega}_2)$ . On a montré que $\varphi\in\mathcal{L}(\Rr^3,\mathcal{A}(\Rr^3))$ .

Vérifions que $\varphi$ est injective. Soit $\omega\in\Rr^3$ .

$\overrightarrow{\omega}\in\text{Ker}(\varphi)\Rightarrow f_{\overrightarrow{\omega}}=0\Rightarrow\forall\overrightarrow{x}\in\Rr^3$ , $\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ .

On applique alors ce dernier résultat à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ . On obtient $\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ et donc $\overrightarrow{x}\in\text{Vect}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\left\{\overrightarrow{0}\right\}$ . On a montré que $\varphi$ est injective.

Enfin, $\text{dim}\left(\mathcal{A}_3(\Rr)\right)= \frac{3\times(3-1)}{2}=3=\text{dim}(\Rr^3)<+\infty$ . On en déduit que $\varphi$ est un isomorphisme de $\Rr^3$ sur $\mathcal{A}(\Rr^3)$ . En particulier,

$\forall f\in\mathcal{A}(\Rr^3)$ , $\exists\overrightarrow{\omega}\in\Rr^3/\;f=f_{\overrightarrow{\omega}}$ .

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