Soit \(\begin{array}[t]{cccc} \varphi~:&\Rr^3&\rightarrow&\mathcal{A}(\Rr^3)\\ &\overrightarrow{\omega}&\mapsto&f_{\overrightarrow{\omega}} \end{array}\).

Vérifions que \(\varphi\in\mathcal{L}(\Rr^3,\mathcal{A}(\Rr^3))\). Soient \((\lambda_1,\lambda_2)\in\Rr^2\) et \((\overrightarrow{\omega}_1,\overrightarrow{\omega}_2)\in(\Rr^3)^2\). Pour tout \(\overrightarrow{x}\in\Rr^3\),

\[\begin{align*}\ensuremath \left(\varphi(\lambda_1\overrightarrow{\omega}_1+\lambda_2\overrightarrow{\omega}_2)\right)\left(\overrightarrow{x}\right)&=f_{\lambda_1\overrightarrow{\omega}_1+\lambda_2\overrightarrow{\omega}_2}\left(\overrightarrow{x}\right)=\left(\lambda_1\overrightarrow{\omega}_1+\lambda_2\overrightarrow{\omega}_2\right)\wedge=\lambda_1\left(\overrightarrow{\omega}_1\wedge\overrightarrow{x}\right)+\lambda_2\left(\overrightarrow{\omega}_2\wedge\overrightarrow{x}\right)\\ &=\lambda_1f_{\overrightarrow{\omega}_1}\left(\overrightarrow{x}\right)+\lambda_2f_{\overrightarrow{\omega}_2}\left(\overrightarrow{x}\right)=\left((\lambda_1\varphi(\overrightarrow{\omega}_1)+\lambda_2\varphi(\overrightarrow{\omega}_2)\right)\left(\overrightarrow{x}\right) \end{align*}\]

et donc \(\varphi(\lambda_1\overrightarrow{\omega}_1+\lambda_2\overrightarrow{\omega}_2)=\lambda_1\varphi(\overrightarrow{\omega}_1)+\lambda_2\varphi(\overrightarrow{\omega}_2)\). On a montré que \(\varphi\in\mathcal{L}(\Rr^3,\mathcal{A}(\Rr^3))\).

Vérifions que \(\varphi\) est injective. Soit \(\omega\in\Rr^3\).

\(\overrightarrow{\omega}\in\text{Ker}(\varphi)\Rightarrow f_{\overrightarrow{\omega}}=0\Rightarrow\forall\overrightarrow{x}\in\Rr^3\), \(\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\).

On applique alors ce dernier résultat à deux vecteurs non colinéaires \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\). On obtient \(\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\) et donc \(\overrightarrow{x}\in\text{Vect}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\left\{\overrightarrow{0}\right\}\). On a montré que \(\varphi\) est injective.

Enfin, \(\text{dim}\left(\mathcal{A}_3(\Rr)\right)= \frac{3\times(3-1)}{2}=3=\text{dim}(\Rr^3)<+\infty\). On en déduit que \(\varphi\) est un isomorphisme de \(\Rr^3\) sur \(\mathcal{A}(\Rr^3)\). En particulier,

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