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Pour $x\in\R^+$ et $n\in\N$ , $n\ge 2$ on pose $f_n(x) = \frac{xe^{-nx}}{\ln n}$ et $S(x) = \sum_{n=2}^\infty f_n(x)$ sous réserve de convergence.

Étudier la convergence simple, normale, uniforme de la série $\sum f_n$ sur $\R^+$ .

Montrer que $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R^{+*}$ .

Montrer que $S$ n’est pas dérivable à droite en $0$ .

Montrer que $x^kS(x)$ tend vers $0$ en $+\infty$ pour tout $k\in\N$ .