Pour \(x\in\R^+\) et \(n\in\N\), \(n\ge 2\) on pose \(f_n(x) = \frac{xe^{-nx}}{\ln n}\) et \(S(x) = \sum_{n=2}^\infty f_n(x)\) sous réserve de convergence.
1
Étudier la convergence simple, normale, uniforme de la série \(\sum f_n\) sur \(\R^+\).
2
Montrer que \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R^{+*}\).
3
Montrer que \(S\) n’est pas dérivable à droite en \(0\).
4
Montrer que \(x^kS(x)\) tend vers \(0\) en \(+\infty\) pour tout \(k\in\N\).