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Soit $g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}$ .

Déterminer le domaine, $D$ de définition de $g$ et prouver que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $D$ .

Montrer que la quantité : $xg(x) - g(x+1)$ est constante sur $D$ .

Tracer la courbe représentative de $g$ sur $]0,+\infty[$ .

Donner un équivalent de $g(x)$ en $+\infty$ et en $0^+$ .