Convergence simple. Chaque fonction \(f_n\), \(n\in\Nn\), est définie sur \(\Rr\) et impaire. Soit \(x\in\Rr^+\).

Si \(x=0\), pour tout entier naturel \(n\), \(f_n(x)=f_n(0)=0\). Dans ce cas, la série numérique de terme général \(f_n(x)\) converge.

Si \(x>0\), la suite \(\left(\frac{x}{(x^2+1)^n}\right)_{n\in\Nn}\) est une suite géométrique de premier \(x>0\) et de raison \(\frac{1}{x^2+1}\in]0,1[\). On en déduit que la suite \(\left(\frac{x}{(x^2+1)^n}\right)_{n\in\Nn}\) est positive décroissante de limite nulle. Par suite, la série numérique de terme général \(f_n(x)\) converge en vertu du critère spécial aux séries alternées.

Si \(x<0\), puisque pour tout entier naturel \(n\), \(f_n(x)=-f_n(-x)\), la série numérique de terme général \(f_n(x)\) converge.

Finalement

Convergence normale. La fonction \(f_0\) n’est pas bornée sur \(\Rr\) et donc la série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\in\Nn\), n’est pas normalement convergente sur \(\Rr\).

Analysons la convergence normale de la série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\geqslant1\), sur \(\Rr\).

Soit \(n\in\Nn^*\). La fonction \(g_n=(-1)^nf_n\) est dérivable sur \(\Rr\) et pour tout réel \(x\),

\(g_n'(x)=\frac{1}{(1+x^2)^n}+x\times\frac{-2nx}{(1+x^2)^{n+1}}=\frac{1-(2n-1)x^2}{(1+x^2)^{n+1}}\).

La fonction \(g_n\) est positive sur \(\Rr^+\), croissante sur \(\left[0,\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\right]\) et décroissante sur \(\left[\frac{1}{\sqrt{2n-1}},+\infty\right[\). Puisque la fonction \(g_n\) est impaire, on en déduit que

\(\|f_n\|_\infty=\underset{x\in\Rr}{\text{sup}}|f_n(x)|=g_n\left(\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\times\frac{1}{\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{-(n+1)}\).

Mais \(\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{-(n+1)}=\text{exp}\left(-(n+1)\ln\left(1-\frac{1}{2n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\text{exp}\left(\frac{1}{2}+o(1)\right)\) et donc

\(\|f_n\|_\infty=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{-(n+1)}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{e\sqrt{2}\times\sqrt{n}}>0\).

Par suite, la série numérique de terme général \(\|f_n\|_\infty\), \(n\in\Nn^*\), diverge et donc

Convergence uniforme sur \(\Rr\). Soit \(n\in\Nn\). Pour \(x\in\Rr^+\), puisque la suite \(\left(\frac{x}{(1+x^2)^n}\right)_{n\in\Nn}\) est positive décroissante et de limite nulle, d’après une majoration classique du reste à l’ordre \(n\) d’une série alternée,

\(R_n(x)|=\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k\frac{x}{(1+x^2)^k}\right|\leqslant\left|(-1)^{n+1}\frac{x}{(1+x^2)^{n+1}}\right|=\frac{x}{(1+x^2)^{n+1}}=g_{n+1}(x)\leqslant g_{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\),

cette inégalité restant valable pour \(x<0\) par parité. Donc \(\underset{x\in\Rr}{\text{sup}}|R_n(x)|\leqslant g_{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\). D’après ci-dessus,

\(g_{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et il en est de même de \(\underset{x\in\Rr}{\text{sup}}|R_n(x)|\). On a montré que

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