Convergence simple. Chaque fonction $f_n$ , $n\in\Nn$ , est définie sur $\Rr$ et impaire. Soit $x\in\Rr^+$ .

Si $x=0$ , pour tout entier naturel $n$ , $f_n(x)=f_n(0)=0$ . Dans ce cas, la série numérique de terme général $f_n(x)$ converge.

Si $x>0$ , la suite $\left(\frac{x}{(x^2+1)^n}\right)_{n\in\Nn}$ est une suite géométrique de premier $x>0$ et de raison $\frac{1}{x^2+1}\in]0,1[$ . On en déduit que la suite $\left(\frac{x}{(x^2+1)^n}\right)_{n\in\Nn}$ est positive décroissante de limite nulle. Par suite, la série numérique de terme général $f_n(x)$ converge en vertu du critère spécial aux séries alternées.

Si $x<0$ , puisque pour tout entier naturel $n$ , $f_n(x)=-f_n(-x)$ , la série numérique de terme général $f_n(x)$ converge.

Finalement

la série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\in\Nn$ , converge simplement sur $\Rr$ .

Convergence normale. La fonction $f_0$ n’est pas bornée sur $\Rr$ et donc la série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\in\Nn$ , n’est pas normalement convergente sur $\Rr$ .

Analysons la convergence normale de la série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\geqslant1$ , sur $\Rr$ .

Soit $n\in\Nn^*$ . La fonction $g_n=(-1)^nf_n$ est dérivable sur $\Rr$ et pour tout réel $x$ ,

$g_n'(x)=\frac{1}{(1+x^2)^n}+x\times\frac{-2nx}{(1+x^2)^{n+1}}=\frac{1-(2n-1)x^2}{(1+x^2)^{n+1}}$ .

La fonction $g_n$ est positive sur $\Rr^+$ , croissante sur $\left[0,\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\right]$ et décroissante sur $\left[\frac{1}{\sqrt{2n-1}},+\infty\right[$ . Puisque la fonction $g_n$ est impaire, on en déduit que

$\|f_n\|_\infty=\underset{x\in\Rr}{\text{sup}}|f_n(x)|=g_n\left(\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\times\frac{1}{\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)^{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{-(n+1)}$ .

Mais $\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{-(n+1)}=\text{exp}\left(-(n+1)\ln\left(1-\frac{1}{2n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\text{exp}\left(\frac{1}{2}+o(1)\right)$ et donc

$\|f_n\|_\infty=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{-(n+1)}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{e\sqrt{2}\times\sqrt{n}}>0$ .

Par suite, la série numérique de terme général $\|f_n\|_\infty$ , $n\in\Nn^*$ , diverge et donc

la série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\in\Nn^*$ , ne converge pas normalement sur $\Rr$ .

Convergence uniforme sur $\Rr$ . Soit $n\in\Nn$ . Pour $x\in\Rr^+$ , puisque la suite $\left(\frac{x}{(1+x^2)^n}\right)_{n\in\Nn}$ est positive décroissante et de limite nulle, d’après une majoration classique du reste à l’ordre $n$ d’une série alternée,

$R_n(x)|=\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k\frac{x}{(1+x^2)^k}\right|\leqslant\left|(-1)^{n+1}\frac{x}{(1+x^2)^{n+1}}\right|=\frac{x}{(1+x^2)^{n+1}}=g_{n+1}(x)\leqslant g_{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)$ ,

cette inégalité restant valable pour $x<0$ par parité. Donc $\underset{x\in\Rr}{\text{sup}}|R_n(x)|\leqslant g_{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)$ . D’après ci-dessus,

$g_{n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et il en est de même de $\underset{x\in\Rr}{\text{sup}}|R_n(x)|$ . On a montré que

la série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\in\Nn$ , converge uniformément sur $\Rr$ .

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