Soit $r$ la rotation cherchée. Notons $u$ le vecteur $\frac{1}{3}(1,2,2)$ ( $u$ est unitaire) et $\theta$ l’angle de $r$ . $r$ est la rotation d’angle $\theta$ autour du vecteur unitaire $u$ . On sait que pour tout vecteur $v$ de $\Rr^3$

$r(v)=(\cos\theta)v+(1-\cos\theta)(v.u)u+(\sin\theta) u\wedge v\quad(*)$

et en particulier que $[v,r(v),u]=\sin\theta\|v\wedge u\|^2$ . L’égalité $r(j)=k$ fournit

$\sin\theta\|j\wedge u\|^2=\left[j,r(j),u\right]=\left[u,j,k\right]=\frac{1}{3}\left|\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&0&1 \end{array} \right|=\frac{1}{3}$ .

Comme $u\wedge j=\frac{1}{3}(i+2j+2k)\wedge j=-\frac{2}{3}j+\frac{1}{3}k$ , on a $\|j\wedge u\|^2=\frac{5}{9}$ et donc $\sin\theta=\frac{3}{5}$ . L’égalité $r(j)=k$ fournit ensuite

$k=(\cos\theta)j+(1-\cos\theta)\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}(i+2j+2k)+\frac{3}{5}\times\frac{1}{3}(i+2j+2k)\wedge j$

En analysant la composante en $i$ , on en déduit que $\frac{2}{9}(1-\cos\theta)-\frac{2}{5}=0$ et donc $\cos\theta=-\frac{4}{5}$ . Ainsi, pour tout vecteur $v=(x,y,z)$ de $\Rr^3$ , l’égalité $(*)$ s’écrit

$\begin{align*}\ensuremath r(v)&=-\frac{4}{5}(x,y,z)+\frac{9}{5}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}(x+2y+2z)(1,2,2)+\frac{3}{5}\times\frac{1}{3} (2z-2y,2x-z,-2x+y)\\ &=\frac{1}{5}(-4x+(x+2y+2z)+(2z-2y),-4y+2(x+2y+2z)+(2x-z),-4z+2(x+2y+2z)+(-2x+y))\\ &=\frac{1}{5}(-3x+4z,4x+3z,5y)=\frac{1}{5}\left( \begin{array}{ccc} -3&0&4\\ 4&0&3\\ 0&5&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right) \end{align*}$ La matrice cherchée est

$\left( \begin{array}{ccc} -\frac{3}{5}&0&\frac{4}{5}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm} \frac{4}{5}&0&\frac{3}{5}\\ 0&1&0 \end{array} \right)$ .

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