Soient \(E,F\), deux ensembles non vides. On définit deux relations sur \(X = F^E\) par : \[\begin{matrix} f \sim g &\iff &\exists\ \phi : F \to F \text{ bijective tq } g=\phi\circ f,\hfill\cr f \equiv g &\iff &\bigl( \forall\ x,y \in E,\ f(x)=f(y)\iff g(x)=g(y)\bigr).\cr \end{matrix}\]
1
Montrer que ce sont des relations d’équivalence.
2
Montrer que \(f \sim g \Rightarrow f \equiv g\).
3
On suppose \(f\equiv g\). Montrer que \(f \sim g\) dans les cas suivants :
4
\(F\) est fini et \(f\) est surjective.
5
\(F\) est fini et \(f\) est quelconque.
6
\(E\) est fini.