Soit \(f\) une fonction entière telle que \(|f(z)|\leq M\,(1+ |z|)^n\) pour un certain \(M\) et un certain \(n\in\Nn\). Donner plusieurs démonstrations que \(f\) est un polynôme de degré au plus \(n\):
1
en utilisant une formule intégrale de Cauchy pour \(f^{(n+1)}(z)\), avec comme contour les cercles de rayon \(R\) centrés en l’origine, ou en \(z\) si l’on veut,
2
en utilisant les formules de Cauchy pour \(f^{(m)}(0)\), avec \(m\geq n+1\),
3
en appliquant le théorème de Liouville à \((f(z) - P(z))/z^{n+1}\) avec \(P\) le polynôme de McLaurin-Taylor à l’origine à l’ordre \(n\).