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Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout $n$, on note : $E_n$ l’événement <<le jour $n$, le professeur oublie ses clés>>, $P_{n}=P(E_n)$, $Q_n=P(\overline{E_n})$.

On suppose que : $P_{1}=a$ est donné et que si le jour $n$ il oublie ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité $\frac{1}{10}$ ; si le jour $n$ il n’oublie pas ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité $\frac{4}{10}$.

Montrer que $P_{n+1}=\frac{1}{10}P_{n}+\frac{4}{10}Q_{n}$. En déduire une relation entre $P_{n+1}$ et $P_{n}$

Quelle est la probabilité de l’événement <<le jour $n$, le professeur oublie ses clés>> ?