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Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout \(n\), on note : \(E_n\) l’événement <<le jour \(n\), le professeur oublie ses clés>>, \(P_{n}=P(E_n)\), \(Q_n=P(\overline{E_n})\).
On suppose que : \(P_{1}=a\) est donné et que si le jour \(n\) il oublie ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité \(\frac{1}{10}\) ; si le jour \(n\) il n’oublie pas ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité \(\frac{4}{10}\).
Montrer que \(P_{n+1}=\frac{1}{10}P_{n}+\frac{4}{10}Q_{n}\). En déduire une relation entre \(P_{n+1}\) et \(P_{n}\)
Quelle est la probabilité de l’événement <<le jour \(n\), le professeur oublie ses clés>> ?