exo7 4618

Vérifier que $A$ est un anneau intègre. Quels sont les éléments de $A$ inversibles ?

Soit $I_k =\{a=(a_n)\in A\text{ tel que } a_0=\dots=a_k = 0\}$. Montrer que les idéaux de $A$ sont $\{0\}$, $A$ et les $I_k$, $k\in\N$.

Soit $f(x) = 2-\sqrt{\frac{1-2x}{\strut 1-x}}$. Montrer que $f$ est développable en série entière sur $]-\frac12,\frac12[$ et que si $f(x) = \sum_{n=0}^\infty u_nx^n$ alors la suite $(u_n)$ vérifie la relation de récurrence : $2u_{n+1} = 1 + \sum_{k=1}^n u_ku_{n+1-k}$.

Soit $a=(a_n)\in A$ avec $a_0=1$ et $|a_n|\le 1$ pour tout $n$. Montrer qu’il existe une unique suite $b=(b_n)\in A$ telle que $b_0 = 1$ et $b*b = a$. Pour prouver que le rayon de convergence de $b$ est non nul on établira par récurrence que $|b_n| \le u_n$.

Pour $a\in A$ quelconque, étudier l’équation $b*b = a$ d’inconnue $b\in A$.