Soit $x\in\Rr$ . La fonction $t\mapsto e^{-t^2}\sin(tx)$ est continue sur $[0,+\infty[$ , négligeable devant $\frac{1}{t^2}$ quand $t$ tend vers $+\infty$ et est donc intégrable sur $[0,+\infty[$ . La fonction $F$ est donc définie sur $\Rr$ et impaire.

Soit $x\in\Rr$ . Pour tout réel $t$ , posons $f(t)=e^{-t^2}\sin(tx)$ . Pour $t\in\Rr$ , on a

$e^{-t^2}\sin(tx) =\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}t^{2n+1}e^{-t^2}$ .

Pour $n\in\Nn$ et $t\in\Rr$ , posons $f_n(t)=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}t^{2n+1}e^{-t^2}$ .

Chaque fonction $f_n$ , $n\in\Nn$ , est continue puis intégrable sur $[0,+\infty[$ car négligeable devant $\frac{1}{t^2}$ quand $t$ tend vers $+\infty$ .

La série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\in\Nn$ , converge simplement vers la fonction $f$ sur $[0,+\infty[$ .

Ensuite, $\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}|f_n(t)|\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\int_{0}^{+\infty}t^{2n+1}e^{-t^2}\;dt$ . Pour $n\in\Nn$ , posons $I_n=\int_{0}^{+\infty}t^{2n+1}e^{-t^2}\;dt$ .

Soit $n\in\Nn^*$ . Soit $A$ un réel strictement positif. Les deux fonctions $t\mapsto t^{2n}$ et $t\mapsto-\frac{1}{2}e^{-t^2}$ sont de classe $C^1$ sur le segment $[0,A]$ . On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

$\begin{align*}\ensuremath \int_{0}^{A}t^{2n+1}e^{-t^2}\;dt&=\int_{0}^{A}t^{2n}\times te^{-t^2}\;dt=\left[-\frac{1}{2}t^{2n}e^{-t^2}\right]_0^A+n\int_{0}^{A}t^{2n-1}e^{-t^2}\;dt\\ &=-\frac{1}{2}A^{2n}e^{-A^2}+n\int_{0}^{A}t^{2n-1}e^{-t^2}\;dt. \end{align*}$

Quand $A$ tend vers $+\infty$ , on obtient $I_{n}=nI_{n-1}$ . En tenant compte, de $I_0=\int_{0}^{+\infty}te^{-t^2}\;dt=\frac{1}{2}$ on a donc $\forall n\in\Nn$ , $I_n=\frac{n!}{2}$ puis

$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}|f_n(t)|\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n!|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}$ .

Soient $n\in\Nn$ et $x\in\Rr$ . $\left|\frac{\frac{(n+1)!|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}}{\frac{n!|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right|=\frac{(n+1)x^2}{(2n+3)(2n+2)}$ et donc $\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\frac{(n+1)!|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}}{\frac{n!|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}}=0$ . D’après la règle de d’Alembert, la série numérique de terme général $\frac{n!|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}$ converge.

En résumé, pour tout réel $x$ ,

Chaque fonction $f_n$ , $n\in\Nn$ , est continue puis intégrable sur $[0,+\infty[$ car négligeable devant $\frac{1}{t^2}$ quand $t$ tend vers $+\infty$ .

La série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\in\Nn$ , converge simplement vers la fonction $f$ sur $[0,+\infty[$ .

$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}|f_n(t)|\;dt<+\infty$ .

D’après un théorème d’intégration terme à terme, pour tout réel $x$ ,

$\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}f_n(t)\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{n!x^{2n+1}}{2(2n+1)!}$ .

$\forall x\in\Rr$ , $\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{n!x^{2n+1}}{2(2n+1)!}$ .

$F$ est dérivable sur $\Rr$ et pour tout réel $x$ ,

$F'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{n!x^{2n}}{2(2n)!}=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!x^{2n-1}}{(2(2n-1)!}=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}F(x)$ .

Par suite, pour tout réel $x$ , $e^{x^2/4}F'(x) +\frac{x}{2}e^{x^2/4}F(x)=\frac{e^{x^2/4}}{2}$ et donc

$F(x)=F(0)+\frac{e^{-x^2/4}}{2}\int_{0}^{x}e^{t^2/4}\;dt =\frac{e^{-x^2/4}}{2}\int_{0}^{x}e^{t^2/4}\;dt$ .

$\forall x\in\Rr$ , $\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt=\frac{e^{-x^2/4}}{2}\int_{0}^{x}e^{t^2/4}\;dt$ .

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