L2 Analyse Série entière 1 question

exo7 5746

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Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de la série proposée.

1) (**) ∑n=2+∞1n(n−1)xn\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(n-1)}x^n 2) (**) ∑n=0+∞3nn+2xn\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3n}{n+2}x^n 3) (** I) ∑n=0+∞xn2n+1\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{2n+1} 4) (**) ∑n=0+∞n(2n+1)!xn\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{(2n+1)!}x^n
5) (*) ∑n=0+∞x4n(4n)!\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{4n}}{(4n)!} 6) (**) ∑n=0+∞(ch⁡n)xn\sum_{n=0}^{+\infty}(\ch n)x^n 7) (** I) ∑n=1+∞(∑k=1n1k)xn\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)x^n 7) ∑n=0+∞n2+4n−1n!(n+2)xn\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n
9) (** I) ∑n=1+∞n(−1)nxn\sum_{n=1}^{+\infty}n^{(-1)^n}x^n 10) (*) ∑n=1+∞(−1)nx4n−14n\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{4n-1}}{4n} 11) (**) ∑n=0+∞(n2+1)2n+1xn\sum_{n=0}^{+\infty}(n^2+1)2^{n+1}x^n 12) (**) ∑n=0+∞(−1)n+1nx2n+1\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n+1}nx^{2n+1}

13) (***) ∑n=0+∞anxn\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n où a0=a1=1a_0 = a_1 = 1 et ∀n∈N\forall n\in\Nn, an+2=an+1+ana_{n+2}= a_{n+1} + a_n

14) (**) ∑n=0+∞anxn\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n où ana_n est le nombre de couples (x,y)(x,y) d’entiers naturels tels que x+5y=nx+5y = n.

Exercice MX2V

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