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Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de la série proposée.
| 1) (**) \(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(n-1)}x^n\) | 2) (**) \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3n}{n+2}x^n\) | 3) (** I) \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{2n+1}\) | 4) (**) \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{(2n+1)!}x^n\) |
| 5) (*) \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{4n}}{(4n)!}\) | 6) (**) \(\sum_{n=0}^{+\infty}(\ch n)x^n\) | 7) (** I) \(\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)x^n\) | 7) \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n\) |
| 9) (** I) \(\sum_{n=1}^{+\infty}n^{(-1)^n}x^n\) | 10) (*) \(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{4n-1}}{4n}\) | 11) (**) \(\sum_{n=0}^{+\infty}(n^2+1)2^{n+1}x^n\) | 12) (**) \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n+1}nx^{2n+1}\) |
13) (***) \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) où \(a_0 = a_1 = 1\) et \(\forall n\in\Nn\), \(a_{n+2}= a_{n+1} + a_n\)
14) (**) \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) où \(a_n\) est le nombre de couples \((x,y)\) d’entiers naturels tels que \(x+5y = n\).