$f(\sh y) = e^{y/2}$ d’où l’équation différentielle : $(1+x^2)f''(x) + xf'(x) = \frac14f(x)$ .

En posant $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ on obtient $4(k+1)(k+2)a_{k+2} = -(2k+1)(2k-1)a_k$ avec $a_0 = f(0) = 1$ et $a_1 = f'(0) = \frac12$ , d’où $a_{2p} = \frac{(-1)^{p+1}C_{4p-2}^{2p-1}}{p2^{4p}}$ si $p\ge 1$ et $a_{2p+1} = \frac{(-1)^pC_{4p}^{2p}}{2^{4p+1}(2p+1)}$ si $p\ge 0$ .

Le rayon de convergence de la série correspondante est 1, ce qui valide la méthode (avec le théorème d’unicité de Cauchy-Lipschitz).

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