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Montrer, pour $0<r<\min(R,d)$ et $n\in\N$ : $a_n = \frac1{2\pi} \int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{r^ne^{in\theta}}\, d\theta$.

Montrer que l’application $r \mapsto \int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{e^{in\theta}}\, d\theta$ est analytique sur $[0,d[$ (minorer le rayon de convergence du DSE de $f$ en $r_0e^{i\theta}$ et majorer en module les coefficients lorsque $\theta$ décrit $[0,2\pi]$ et $r_0$ est fixé dans $[0,d[$ à l’aide d’un recouvrement ouvert de $[0,2\pi]$). En déduire que l’égalité de la question [formule-c]. a lieu pour tout $r\in{[0,d[}$.

Pour $0<r<d$ et $|z|<r$ on pose $g(z)= \frac1{2\pi} \int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{re^{i\theta}-z}re^{i\theta}\, d\theta$. Montrer que $g$ est la somme d’une série entière de rayon supérieur ou égal à $r$ et que $g$ coïncide avec $f$ sur $\mathring D(0,r)$.

Applications :

$R\ge d$.

Si $U=\C$ et $f$ est bornée alors $f$ est constante (théorème de Liouville).

Si $P\in\C[X]$ ne s’annule pas alors $P$ est constant (théorème de d’Alembert-Gauss).

Si $(f_n)$ est une suite de fonctions analytiques convergeant uniformément sur $U$ vers une fonction $f$ alors $f$ est analytique sur $U$ (théorème de Weierstrass, comparer avec le cas réel).

La composée de deux fonctions analytiques est analytique.