Soit \(U\) un ouvert de \(\C\) contenant \(0\) et \(f : U \to \C\) analytique. On note \(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) le développement en série entière de \(f\) en \(0\), \(R\) son rayon et \(d\) la distance de \(0\) à \(\mathrm{fr}(U)\) (\(d=+\infty\) si \(U=\C\)).
Montrer, pour \(0<r<\min(R,d)\) et \(n\in\N\) : \(a_n = \frac1{2\pi} \int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{r^ne^{in\theta}}\, d\theta\). [formule-c]
Montrer que l’application \(r \mapsto \int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{e^{in\theta}}\, d\theta\) est analytique sur \([0,d[\) (minorer le rayon de convergence du DSE de \(f\) en \(r_0e^{i\theta}\) et majorer en module les coefficients lorsque \(\theta\) décrit \([0,2\pi]\) et \(r_0\) est fixé dans \([0,d[\) à l’aide d’un recouvrement ouvert de \([0,2\pi]\)). En déduire que l’égalité de la question [formule-c]. a lieu pour tout \(r\in{[0,d[}\).
Pour \(0<r<d\) et \(|z|<r\) on pose \(g(z)= \frac1{2\pi} \int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{f(re^{i\theta})}{re^{i\theta}-z}re^{i\theta}\, d\theta\). Montrer que \(g\) est la somme d’une série entière de rayon supérieur ou égal à \(r\) et que \(g\) coïncide avec \(f\) sur \(\mathring D(0,r)\).
Applications :
\(R\ge d\).
Si \(U=\C\) et \(f\) est bornée alors \(f\) est constante (théorème de Liouville).
Si \(P\in\C[X]\) ne s’annule pas alors \(P\) est constant (théorème de d’Alembert-Gauss).
Si \((f_n)\) est une suite de fonctions analytiques convergeant uniformément sur \(U\) vers une fonction \(f\) alors \(f\) est analytique sur \(U\) (théorème de Weierstrass, comparer avec le cas réel).
La composée de deux fonctions analytiques est analytique.