Soit la série entière \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\).
1
Déterminer le rayon de convergence \(R\) de cette série. Préciser son intervalle de convergence et le comportement de la série aux extrémités de cet intervalle.
2
Déterminer le rayon de convergence de la série \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{(n-1)}x^{n-1}\)
et de la série \(\displaystyle \sum_{n\geq 2}(-1)^n x^{n-2}\) ?
Étudier le comportement de chacune de ces séries au bord de son intervalle de convergence.
3
Calculer la somme de la série \(\displaystyle \sum_{n\geq 2}(-1)^n x^{n-2}\).
4
En déduire la somme de la série \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{(n-1)}x^{n-1}\).