Pour $n\geq1$ , posons $u_n=\frac{(-1)^n}{\ln n}+\frac{1}{n}$ . On a alors

$\begin{align*} n(u_n+u_{n+1}-\frac{2}{n})&=1+\frac{n}{n+1}-2+n(-1)^n(\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln(n+1)})=\frac{(-1)^nn(\ln(n+1)-\ln n)}{\ln n\ln(n+1)}+o(1)\\ &=\frac{(-1)^nn\ln(1+1/n)}{\ln n\ln(n+1)}+o(1)=\frac{(-1)^n(1+o(1))}{\ln n\ln(n+1)}+o(1)=o(1). \end{align*}$

Donc, $n(u_n+u_{n+1}-\frac{2}{n})=o(1)$ , ou encore $u_n+u_{n+1}=\frac{2}{n}+o(\frac{1}{n})$ , ou enfin, $u_n+u_{n+1}\sim\frac{2}{n}$ . Pourtant, $u_n$ est équivalent à $\frac{(-1)^n}{\ln n}$ et pas du tout à $\frac{1}{n}$ ( $|nu_n|=\frac{n}{\ln n}\rightarrow+\infty$ ).

Supposons maintenant que $u_n+u_{2n}\sim\frac{3}{2n}$ et montrons que $u_n\sim\frac{1}{n}$ .

On pose $v_n=u_n-\frac{1}{n}$ . Il s’agit maintenant de montrer que $v_n=o(\frac{1}{n})$ sous l’hypothèse $v_n+v_{2n}=o(\frac{1}{n})$ .

Soit $\varepsilon>0$ . Il existe $n_0\in\Nn$ tel que, pour $n\geq n_0$ , $n|v_n+v_{2n}|<\frac{\varepsilon}{4}$ .

Soient $n\geq n_0$ et $p\in\Nn$ .

$\begin{align*}\ensuremath |v_n|&=|v_n+v_{2n}-v_{2n}-v_{4n}+...+(-1)^p(v_{2^pn}+v_{2^{p+1}n})+(-1)^{p+1}v_{2^{p+1}n}| \leq\sum_{k=0}^{p}|v_{2^kn}+v_{2^{k+1}n}|+|v_{2^{p+1}n}|\\ &\frac{\varepsilon}{4}\sum_{k=0}^{p}\frac{1}{2^kn}+|v_{2^{p+1}n}|=\frac{\varepsilon}{4n}\frac{1-\frac{1}{2^{p+1}}}{1-\frac{1}{2}}+|v_{2^{p+1}n}|\\ &\leq\frac{\varepsilon}{2n}+|v_{2^{p+1}n}| \end{align*}$

Maintenant, la suite $u$ tend vers $0$ , et il en est de même de la suite $v$ . Par suite, pour chaque $n\geq n_0$ , il est possible de choisir $p$ tel que $|v_{2^{p+1}n}|<\frac{\varepsilon}{2n}$ .

En résumé, si $n$ est un entier donné supérieur ou égal à $n_0$ , $n|v_n|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ . On a montré que

$\forall\varepsilon>0,\;\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_0\Rightarrow|nv_n|<\varepsilon.$

Par suite, $v_n=o(\frac{1}{n})$ et donc $u_n=\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})$ , ou encore $u_n\sim\frac{1}{n}$ .

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