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Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et on note $B_E$ la boule unité fermée de $E$ . Soit $u$ une application de $E$ dans $F$ telle que

(i) $u(x+y)=u(x)+u(y),\ \forall x,y\in E$ .

(ii) $u(B_E)$ est bornée dans $F$ .

Calculer $u(rx)$ , $x\in E$ , $r$ rationnel.

Montrer que $u$ est continue en $0$ , plus précisément :

$\exists M>0\ ;\ \forall x\not=0\ \ ||u(x)||\leq M||x||.$

Montrer que $u$ est continue et linéaire.