Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note \(B_E\) la boule unité fermée de \(E\). Soit \(u\) une application de \(E\) dans \(F\) telle que
(i) \(u(x+y)=u(x)+u(y),\ \forall x,y\in E\).
(ii) \(u(B_E)\) est bornée dans \(F\).
1
Calculer \(u(rx)\), \(x\in E\), \(r\) rationnel.
2
Montrer que \(u\) est continue en \(0\), plus précisément :
\[\exists M>0\ ;\ \forall x\not=0\ \ ||u(x)||\leq M||x||.\]
3
Montrer que \(u\) est continue et linéaire.