Soit $n$ un entier naturel non nul. Le terme général du développement de $(a+b)^n$ est $u_k=\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$ , $0\leq k\leq n$ . Pour $0\leq k\leq n-1$ , on a :

$\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{\binom{n}{k+1}a^{k+1}b^{n-k-1}}{\binom{n}{k}a^kb^{n-k}}=\frac{n-k}{k+1}\frac{a}{b}.$

Par suite,

$\frac{u_{k+1}}{u_k}>1\Leftrightarrow\frac{n-k}{k+1}\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow(n-k)a>(k+1)b\Leftrightarrow k<\frac{na-b}{a+b}.$

1er cas. Si $\frac{na-b}{a+b}>n-1$ (ce qui équivaut à $n<\frac{a}{b}$ ), alors la suite $(u_k)_{0\leq k\leq n}$ est strictement croissante et le plus grand terme est le dernier : $a^n$ .
2ème cas. Si $\frac{na-b}{a+b}\leq0$ (ce qui équivaut à $n\leq\frac{b}{a}$ ), alors la suite $(u_k)_{0\leq k\leq n}$ est strictement décroissante et le plus grand terme est le premier : $b^n$ .
3ème cas. Si $0<\frac{na-b}{a+b}\leq n-1$ . Dans ce cas, la suite est strictement croissante puis éventuellement momentanément constante, suivant que $\frac{na-b}{a+b}$ soit un entier ou non, puis strictement décroissante (on dit que la suite u est unimodale).

Si $\frac{na-b}{a+b}\notin\Nn$ , on pose $k=E(\frac{na-b}{a+b})+1$ , la suite $u$ croit strictement jusqu’à ce rang puis redécroit strictement. Le plus grand des termes est celui d’indice $k$ , atteint une et une seule fois.

Si $\frac{na-b}{a+b}\in\Nn$ , le plus grand des termes est atteint deux fois à l’indice $k$ et à l’indice $k+1$ .

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