Le point $A$ est l’intersection des droites $(AB)$ et $(AC)$ . Les coordonnées $(x,y)$ de $A$ sont donc solutions du système : $\left\{ \begin{array}{l} x+2y=3 \\ x+y=2 \\ \end{array} \right.$ donné par les équations des deux droites. La seule solution est $(x,y)=(1,1)$ . On a donc $A=(1,1)$ . On fait de même pour obtenir le point $B=(-1,2)$ et $C=(2,0)$ . Notons $A'$ le milieu de $[BC]$ alors les coordonnées se trouvent par la formule suivante $A'= (\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}) = (\frac12,1)$ . De même on trouve $B'=(\frac32,\frac12)$ et $C'=(0,\frac32)$ .

Les médianes ont pour équations : $(AA') : (y=1)$ ; $(BB') : (3x+5y=7)$ ; $(CC') : (3x+4y=6)$ .
Vérifions que les trois médianes sont concourantes (ce qui est vrai quelque soit le triangle). On calcule d’abord l’intersection $I=(AA')\cap (BB')$ , les coordonnées du point $I$ d’intersection vérifient donc le système $\left\{ \begin{array}{l} y=1 \\ 3x+5y=7 \\ \end{array} \right.$ . On trouve $I=(\frac23,1)$ .

Il ne reste plus qu’à vérifier que $I$ appartient à la droite $(CC')$ d’équation $3x+4y=6$ . En effet $3x_I+4y_I=6$ donc $I \in (CC')$ .

Conclusion : les médianes sont concourantes au point $I=(\frac23,1)$ .

exo7 1960