Le point \(A\) est l’intersection des droites \((AB)\) et \((AC)\). Les coordonnées \((x,y)\) de \(A\) sont donc solutions du système : \(\left\{ \begin{array}{l} x+2y=3 \\ x+y=2 \\ \end{array} \right.\) donné par les équations des deux droites. La seule solution est \((x,y)=(1,1)\). On a donc \(A=(1,1)\). On fait de même pour obtenir le point \(B=(-1,2)\) et \(C=(2,0)\). Notons \(A'\) le milieu de \([BC]\) alors les coordonnées se trouvent par la formule suivante \(A'= (\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}) = (\frac12,1)\). De même on trouve \(B'=(\frac32,\frac12)\) et \(C'=(0,\frac32)\).

Les médianes ont pour équations : \((AA') : (y=1)\) ; \((BB') : (3x+5y=7)\) ; \((CC') : (3x+4y=6)\). Vérifions que les trois médianes sont concourantes (ce qui est vrai quelque soit le triangle). On calcule d’abord l’intersection \(I=(AA')\cap (BB')\), les coordonnées du point \(I\) d’intersection vérifient donc le système \(\left\{ \begin{array}{l} y=1 \\ 3x+5y=7 \\ \end{array} \right.\). On trouve \(I=(\frac23,1)\).

Il ne reste plus qu’à vérifier que \(I\) appartient à la droite \((CC')\) d’équation \(3x+4y=6\). En effet \(3x_I+4y_I=6\) donc \(I \in (CC')\).

Conclusion : les médianes sont concourantes au point \(I=(\frac23,1)\).

exo7 1960