Si $z_k$ est l’affixe complexe de $M_k$ et $a_k$ est l’affixe complexe de $A_k$ , le problème posé équivaut au système : $\forall k\in\{1,...,n-1\},\;z_k+z_{k+1}=2a_k\;\mbox{et}\;z_n+z_1=2a_n.$

Le déterminant de ce système vaut :

$\begin{align*}\ensuremath \left| \begin{array}{ccccc} 1&1&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots& &\ddots&0\\ 0& &\ddots&\ddots&1\\ 1&0&\ldots&0&1 \end{array} \right| &=1.1^{n-1}+(-1)^{n+1}.1^{n-1}\;(\mbox{en développant suivant la première colonne})\\ &=1+(-1)^{n+1}. \end{align*}$

Si $n$ est impair, $\mbox{det}S=2\neq 0$ et le système admet une et une seule solution.

On obtient $z_2=2a_1-z_1$ , $z_3=2a_2-2a_1+z_1$ ,..., $z_n=2a_{n-1}-2a_{n-2}+...+2a_2-2a_1+z_1$ et enfin :

$2a_{n-1}-2a_{n-2}+...+2a_2-2a_1+z_1+z_1=2a_n,$

et donc $z_1=a_1-a_2+...-a_{n-1}+a_n$ puis $z_2=a_1+a_2-a_3+...+a_{n-1}-a_n$ puis $z_3=-a_1+a_2+a_3-a_4...+a_n$ ... puis $z_n=-a_1+a_2-a_3+...+a_{n-1}+a_n$ .

Si $n$ est pair, $\mbox{det}S=0$ mais le mineur formé des $n-1$ premières lignes et $n-1$ dernières colonnes est non nul. Donc, le système est de rang $n-1$ , les $n-1$ premières équations et $n-1$ dernières inconnues peuvent être choisies pour équations et inconnues principales.

On résout les $n-1$ premières équations constituant un sytème de Cramer en $z_2$ ,..., $z_n$ . On obtient

$z_2=2a_1-z1,\;z_3=2a_2-2a_1+z_1,...,\;z_n=2a_{n-1}-2a_{n-2}+...-2a_2+2a_1-z_1.$

La dernière équation fournit alors une condition nécessaire et suffisante de compatibilité :

$2a_{n-1}-2a_{n-2}+...-2a_2+2a_1-z_1+z_1=2a_n\Leftrightarrow a_1+a_3...=a_2+a_4+...$

Cette dernière condition se traduit géométriquement par le fait que les systèmes de points $(A_1,A_3,...)$ et $(A_2,A_4,...)$ ont même isobarycentre.

En résumé, si $n$ est pair et si les systèmes de points $(A_1,A_3,...)$ et $(A_2,A_4,...)$ n’ont pas même isobarycentre, le problème n’a pas de solutions.

Si $n$ est pair et si les systèmes de points $(A_1,A_3,...)$ et $(A_2,A_4,...)$ ont même isobarycentre, le problème a une infinité de solutions : $M_1$ est un point quelconque puis on construit les symétriques successifs par rapport aux points $A_1$ , $A_2$ ...

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