Soient $C\in \mathcal{M}_q(\Kk)$ et $D\in\mathcal{M}_{p,q}(\Kk)$ . Soit $\begin{array}{cccc} \varphi~:&(\mathcal{M}_{p,1}(\Kk))^p&\rightarrow&\Kk\\ &(C_1,\ldots,C_p)&\mapsto&\text{det}\left( \begin{array}{cc} X&D\\ 0&C \end{array} \right) \end{array}$ où $X=(C_1\ldots C_p)\in\mathcal{M}_p(\Kk)$ .

$\varphi$ est linéaire par rapport à chacune des colonnes $C_1$ ,…, $C_p$ .

Si il existe $(i,j)\in\llbracket1,p\rrbracket^2$ tel que $i\neq j$ et $C_i=C_j$ , alors $\varphi(C_1,\ldots,C_p)=0$ .

Ainsi, $\varphi$ est une forme $p$ -linéaire alternée sur l’espace $\mathcal{M}_{p,1}(\Kk)$ qui est de dimension $p$ . On sait alors qu’il existe $\lambda\in\Kk$ tel que $\varphi=\lambda\;\text{det}_{\mathcal{B}_0}$ (où $\text{det}_{\mathcal{B}_0}$ désigne la forme déterminant dans la base canonique de $\mathcal{M}_{p,1}(\Kk)$ ) ou encore il existe $\lambda\in\Kk$ indépendant de $(C_1,\ldots,C_p)$ tel que $\forall (C_1,\ldots,C_p)\in(\mathcal{M}_{p,1}(\Kk))^p$ , $f(C_1,\ldots,C_p)=\lambda\;\text{det}_{\mathcal{B}_0}(C_1,\ldots,C_p)$ ou enfin il existe $\lambda\in\Kk$ indépendant de $X$ tel que $\forall X\in\mathcal{M}_{p}(\Kk)$ , $\text{det}\left( \begin{array}{cc} X&D\\ 0&C \end{array} \right)=\lambda\;\text{det}(X)$ . Pour $X=I_p$ , on obtient $\lambda=\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&C \end{array} \right)$ et donc

$\forall B\in\mathcal{M}_p(\Kk)$ , $\text{det}\left( \begin{array}{cc} B&D\\ 0&C \end{array} \right)=\text{det}(B)\times\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&C \end{array} \right)$ .

De même, l’application $Y\mapsto\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&Y \end{array} \right)$ est une forme $q$ -linéaire alternée des lignes de $Y$ et donc il existe $\mu\in\Kk$ tel que $\forall Y\in\mathcal{M}_q(\Kk)$ , $\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&Y \end{array} \right)=\mu\;\text{det}(Y)$ puis $Y=I_q$ fournit $\mu=\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&I_q \end{array} \right)$ et donc

$\forall B\in\mathcal{M}_p(\Kk)$ , $\forall C\in\mathcal{M}_q(\Kk)$ , $\forall D\in\mathcal{M}_{p,q}(\Kk)$ , $\text{det}\left( \begin{array}{cc} B&D\\ 0&C \end{array} \right)=\text{det}(B)\times\text{det}(C)\times\text{det}\left( \begin{array}{cc} I_p&D\\ 0&I_q \end{array} \right)=\text{det}(B)\times\text{det}(C)$ ,

(en supposant acquise la valeur d’un déterminant triangulaire qui peut s’obtenir en revenant à la définition d’un déterminant et indépendamment de tout calcul par blocs).

$\forall (B,C,D)\in\mathcal{M}_p(\Kk)\times\mathcal{M}_q(\Kk)\times\mathcal{M}_{p,q}(\Kk)$ , $\text{det}\left( \begin{array}{cc} B&D\\ 0&C \end{array} \right)=\text{det}(B)\times\text{det}(C)$ .

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