Sur \(I=\left]- \frac{1}{2},+\infty\right[\), \((E)\) s’écrit \(y''+ \frac{4x-2}{2x+1}y'- \frac{8}{2x+1}y=0\). Puisque les deux fonctions \(x\mapsto \frac{4x-2}{2x+1}\) et \(x\mapsto- \frac{8}{2x+1}\) sont continues sur \(I\), les solutions de \((E)\) sur \(I\) forment un\(\Rr\)-espace vectoriel de dimension \(2\).

Recherche d’une solution polynomiale non nulle de \((E)\). Soit \(P\) un éventuel polynôme non nul solution de \((E)\). On note \(n\) son degré. Le polynôme \(Q=(2X+1)P''+(4X-2)P'-8P\) est de degré au plus \(n\). De plus, le coefficient de \(X^n\) dans \(Q\) est \((4n-8)\text{dom}(P)\). Si \(P\) est solution de \((E)\), on a nécessairement \((4n-8)\text{dom}(P)=0\) et donc \(n=2\).

Posons alors \(P=aX^2+bX+c\).

\((2X+1)P''+(4X-2)P'-8P=(2X+1)(2a)+(4X-2)(2aX+b)-8(aX^2+bX+c)=-4bX+2a-2b-8c\)

Par suite, \(P\) est solution de \((E)\) sur \(I\) si et seulement si \(-4b=2a-2b-8c=0\) ce qui équivaut à \(b=0\) et \(a=4c\). La fonction \(f_1~:~x\mapsto4x^2+1\) est donc une solution non nulle de \((E)\) sur \(I\).

Recherche d’une solution particulière de la forme \(f_\alpha~:~x\mapsto e^{\alpha x}\), \(\alpha\in\Cc\).

\((2x+1)(e^{\alpha x})''+(4x-2)(e^{\alpha x})'-8e^{\alpha x}=\left(\alpha^2(2x+1)+\alpha(4x-2)-8\right)e^{\alpha x}=\left(2\alpha(\alpha+2)x+\alpha^2-2\alpha-8\right)e^{\alpha x}\)

Par suite, \(f_{\alpha}\) est solution de \((E)\) sur \(I\) si et seulement si \(2\alpha(\alpha+2)=\alpha^2-2\alpha-8=0\) ce qui équivaut à \(\alpha=-2\). Ainsi, la fonction \(f_2~:~x\mapsto e^{-2x}\) est solution de \((E)\) sur \(I\).

Résolution de \((E)\) sur \(\left]- \frac{1}{2},+\infty\right[\). Vérifions que le couple \((f_1,f_2)\) est un système fondamental de solution de \((E)\) sur \(\left]- \frac{1}{2},+\infty\right[\). Pour \(x>- \frac{1}{2}\),

\(w(x)=\left| \begin{array}{cc} 4x^2+1&e^{-2x}\\ 8x&-2e^{-2x} \end{array} \right| =(-8x^2-8x-2)e^{-2x}=-2(2x+1)^2e^{-2x}\neq0\).

Donc le couple \((f_1,f_2)\) est un système fondamental de solution de \((E)\) sur \(\left]- \frac{1}{2},+\infty\right[\) et

Résolution de \((E)\) sur \(\Rr\). On a aussi \(\mathcal{S}_{\left]-\infty,-\frac{1}{2}\right[}=\left\{x\mapsto\lambda(4x^2+1)+\mu e^{-2x},\;(\lambda,\mu)\in\Rr^2\right\}\). Soit \(f\) une solution de \((E)\) sur \(\Rr\). Nécessairement, il existe \((\lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2)\in\Rr^4\) tel que \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \lambda_1(4x^2+1)+\mu_1 e^{-2x}\;\text{si}\;x\leqslant- \frac{1}{2}\\ \rule{0mm}{6mm}\lambda_2(4x^2+1)+\mu_2 e^{-2x}\;\text{si}\;x>- \frac{1}{2} \end{array} \right.\) (par continuité à gauche en \(- \frac{1}{2}\)).

\(f\) ainsi définie est deux fois dérivables sur \(\left]-\infty,- \frac{1}{2}\right[\) et sur \(\left]- \frac{1}{2},+\infty\right[\), solution de \((E)\) sur chacun de ces deux intervalles et vérifie encore \((E)\) en \(x=- \frac{1}{2}\) si de plus \(f\) est deux fois dérivable en \(- \frac{1}{2}\).

En résumé, \(f\) est solution de \((E)\) sur \(\Rr\) si et seulement si \(f\) est deux fois dérivables en \(- \frac{1}{2}\).

\(f\) est déjà deux fois dérivable à droite et à gauche en \(- \frac{1}{2}\). De plus, en posant \(h=x+ \frac{1}{2}\) ou encore \(x=- \frac{1}{2}+h\), on obtient quand \(x\) tend vers \(- \frac{1}{2}\) par valeurs inférieures

\(f(x)=\lambda_1(2-4h+4h^2)+\mu_1ee^{-2h}=(2\lambda_1+e\mu_1)+(-4\lambda_1-2e\mu_1)h+(4\lambda_1+2e\mu_1)h^2+o(h^2)\),

et de même quand \(x\) tend vers \(- \frac{1}{2}\) par valeurs supérieures, \(f(x)=(2\lambda_2+e\mu_2)+(-4\lambda_2-2e\mu_2)h+(4\lambda_2+2e\mu_2)h^2+o(h^2)\). Par suite, \(f\) est deux fois dérivable en \(- \frac{1}{2}\) si et seulement si \(2\lambda_1+e\mu_1=2\lambda_2+e\mu_2\) ou encore \(\mu_2= \frac{2}{e}(\lambda_1+\lambda_2)+\mu_1\).

Ainsi, les solutions de \((E)\) sur \(\Rr\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto\left\{ \begin{array}{l} a(4x^2+1)+b e^{-2x}\;\text{si}\;x\leqslant- \frac{1}{2}\\ \rule{0mm}{6mm}c(4x^2+1)+\left( \frac{2}{e}(a+c)-b\right)e^{-2x}\;\text{si}\;x>- \frac{1}{2} \end{array} \right.\), \((a,b,c)\in\Rr^3\). Ainsi, l’espace des solutions sur \(\Rr\) est de dimension \(3\) et une base de cet espace est par exemple \((f_1,f_2,f_3)\) où \(f_1~:~x\mapsto\left\{ \begin{array}{l} 4x^2+1\;\text{si}\;x\leqslant- \frac{1}{2}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{2}{e}e^{-2x}\;\text{si}\;x>- \frac{1}{2} \end{array} \right.\), \(f_2~:~x\mapsto\left\{ \begin{array}{l} e^{-2x}\;\text{si}\;x\leqslant- \frac{1}{2}\\ -e^{-2x}\;\text{si}\;x>- \frac{1}{2} \end{array} \right.\) et \(f_3~:~x\mapsto\left\{ \begin{array}{l} 0\;\text{si}\;x\leqslant- \frac{1}{2}\\ 4x^2+1+ \frac{2}{e}e^{-2x}\;\text{si}\;x>- \frac{1}{2} \end{array} \right.\). Sur \(I=]0,+\infty[\), l’équation \((E)\) s’écrit \(y''- \frac{2}{x+1}y'+ \frac{2}{x(x+1)}y=0\). Puisque les deux fonctions \(x\mapsto- \frac{2}{x+1}\) et \(x\mapsto \frac{2}{x(x+1)}\) sont continues sur \(I\), les solutions de \((E)\) sur \(I\) forment un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension \(2\).

La fonction \(f_1~:~x\mapsto x\) est solution de \((E)\) sur \(I\). Posons alors \(y=f_1z\). Puisque la fonction \(f_1\) ne s’annule pas sur \(I\), la fonction \(y\) est deux fois dérivables sur \(I\) si et seulement si la fonction \(z\) est deux fois dérivables sur \(I\). De plus, d’après la formule de Leibniz,

\[\begin{align*}\ensuremath (x^2+x)y''-2y'+2y&=(x^2+x)(f_1''z+2f_1'z'+f_1z'')-2x(f_1'z+f_1z')+2f_1z\\ &=(x^2+x)f_1z''+(2(x^2+x)f_1'-2xf_1)z'+((x^2+x)f_1''-2f_1'+2f_1)z\\ &=(x^3+x^2)z''+2xz'. \end{align*}\]

Par suite,

\[\begin{align*}\ensuremath y\;\text{solution de}\;(E)\;\text{sur}\;I&\Leftrightarrow\forall x\in I,\;(x^3+x^2)z''(x)+2xz'(x)=0\\ &\Leftrightarrow\forall x\in I,\;z''(x)+ \frac{2}{x(x+1)}z'(x)=0\Leftrightarrow\forall x\in I,\;\left(e^{2\ln|x|-2\ln|x+1|}z'\right)'(x)=0\\ &\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in I,\;z'(x)=\lambda\left( \frac{x+1}{x}\right)^2\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall x\in I,\;z(x)=\lambda\left(x+2\ln|x|- \frac{1}{x}\right)+\mu\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall x\in I,\;y(x)=\lambda(x^2+2x\ln|x|-1)+\mu x. \end{align*}\] Cherchons les solutions développables en série entière. Soit \(f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx_n\) une série entière dont le rayon \(R\) est supposé à priori strictement positif. Pour \(x\in]-R,R[\),

\[\begin{align*}\ensuremath 4xf''(x)-2f'(x)+9x^2f(x)&=4x\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}-2\sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}+9x^2\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\\ &=4\sum_{n=1}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-1}-2\sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}+9\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n+2}\\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}2n(2n-3)a_nx^{n-1}+9\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n+2}=\sum_{n=1}^{+\infty}2n(2n-3)a_nx^{n-1}+9\sum_{n=3}^{+\infty}a_{n-3}x^{n-1}\\ &=-a_1+4a_2x+\sum_{n=3}^{+\infty}(2n(2n-3)a_n+9a_{n-3})x^{n-1} \end{align*}\]

Par suite, \(f\) est solution de \((E)\) sur \(]-R,R[\) si et seulement si \(a_1=a_2=0\) et \(\forall n\geqslant3\), \(2n(2n-3)a_n+9a_{n-3}=0\) ce qui s’écrit encore

\(a_1=a_2=0\) et \(\forall n\geqslant3\), \(a_n=- \frac{9}{2n(2n-3)}a_{n-3}\).

Les conditions \(a_1=0\) et \(\forall n\geqslant3\), \(a_n=- \frac{9}{2n(2n-3)}a_{n-3}\) sont équivalentes à \(\forall p\in\Nn\), \(a_{3p+1}=0\) et les conditions \(a_2=0\) et \(\forall n\geqslant3\), \(a_n=- \frac{9}{2n(2n-3)}a_{n-3}\) sont équivalentes à \(\forall p\in\Nn\), \(a_{3p+2}=0\).

Enfin les conditions \(\forall p\in\Nn^*\), \(a_{3p}=- \frac{9}{6p(6p-3)}a_{3p-3}=- \frac{1}{2p(2p-1)}a_{3(p-1)}\) sont équivalentes pour \(p\geqslant1\) à

\(a_{3p}=- \frac{1}{2p(2p-1)}\times- \frac{1}{(2p-2)(2p-3)}\times\ldots\times- \frac{1}{2\times1}a_0= \frac{(-1)^p}{(2p)!}a_0\).

En résumé, sous l’hypothèse \(R>0\), \(f\) est solution de \((E)\) sur \(]-R,R[\) si et seulement si \(\forall x\in]-R,R[\), \(f(x)=\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{(2p)!}x^{3p}\).

Réciproquement, puisque pour tout réel \(x\), \(\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(-1)^p}{(2p)!}x^{3p}=0\) d’après un théorème de croissances comparées, \(R=+\infty\) pour tout choix de \(a_0\) ce qui valide les calculs précédents sur \(\Rr\).

Les solutions de \((E)\) développables en série entière sont les fonctions de la forme \(x\mapsto\lambda\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{3n}\), \(x\in\Rr\). Ensuite, pour \(x>0\),

\(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{3n}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}(x^{3/2})^{2n}=\cos\left(x^{3/2}\right)\).

Donc la fonction \(x\mapsto\cos\left(x^{3/2}\right)\) est une solution de \((E)\) sur \(]0,+\infty[\). La forme de cette solution nous invite à changer de variable en posant \(t=x^{3/2}\). Plus précisément, pour \(x>0\), posons \(y(x)=z(x^{3/2})=z(t)\). Puisque l’application \(\varphi~:~x\mapsto x^{3/2}\) est un \(C^2\)-difféomorphisme de \(]0,+\infty[\) sur lui-même, la fonction \(y\) est deux fois dérivables sur \(]0,+\infty[\) si et seulement si la fonction est deux fois dérivable sur \(]0,+\infty[\).

Pour \(x>0\), on a \(y(x)=z(x^{3/2})\) puis \(y'(x)= \frac{3}{2}x^{1/2}z'(x^{3/2})\) puis \(y''(x)= \frac{3}{4}x^{-1/2}z'(x^{3/2})+ \frac{9}{4}xz''(x^{3/2})\) et donc

\[\begin{align*}\ensuremath 4xy''(x)- 2y'(x)+ 9x^2y(x)&=4x\left( \frac{3}{4}x^{-1/2}z'(x^{3/2})+ \frac{9}{4}xz''(x^{3/2})\right)-2\left( \frac{3}{2}x^{1/2}z'(x^{3/2})\right)+9x^2z(x^{3/2})\\ &=9x^2(z''(x^{3/2})+z(x^{3/2})). \end{align*}\]

Par suite,

\[\begin{align*}\ensuremath y\;\text{solution de}\;(E)\;\text{sur}\;]0,+\infty[&\Leftrightarrow\forall x>0,\;9x^2(z''(x^{3/2})+z(x^{3/2}))=0\Leftrightarrow\forall t>0,\;z''(t)+z(t)=0\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall t>0,\;z(t)=\lambda\cos t+\mu\sin t\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall x>0,\;y(x)=\lambda\cos(x^{3/2})+\mu\sin(x^{3/2}). \end{align*}\]

Puisque les fonctions \(x\mapsto- \frac{2}{1+x}\), \(x\mapsto \frac{1-x}{1+x}\) et \(x\mapsto \frac{xe^{-x}}{1+x}\) sont continues sur \(]-1,+\infty[\), les solutions de \((E)\) sur \(]-1,+\infty[\) constituent un \(\Rr\)-espace affine de dimension \(2\).

Résolution de l’équation homogène.

La fonction \(f_1~:~x\mapsto e^x\) est solution sur \(]-1,+\infty[\) de l’équation \((1+x)y''-2y'+(1-x)y=0\). Posons alors \(y=f_1z\). Puisque la fonction \(f_1\) ne s’annule pas sur \(]-1,+\infty[\), la fonction \(y\) est deux fois dérivable sur \(]-1,+\infty[\) si et seulement si la fonction \(z\) est deux fois dérivable sur \(]-1,+\infty[\). De plus, la formule de Leibniz permet d’écrire pour \(x>-1\)

\[\begin{align*}\ensuremath (1+x)y''(x)-2y'(x)+(1-x)y(x)&=(1+x)(f_1''z(x)+2f_1'(x)z'(x)+f_1(x)z''(x))-2(f_1'(x)z(x)+f_1(x)z'(x))\\ &+(1-x)f_1(x)z(x)\\ &=(1+x)f_1(x)z''(x)+(2(1+x)f_1'(x)-2f_1(x))z'(x)=((1+x)z''(x)+2xz'(x))e^x. \end{align*}\]

Par suite,

\[\begin{align*}\ensuremath y\;\text{solution de}\;(E_H)\;\text{sur}\;]-1,+\infty[&\Leftrightarrow\forall x>-1,\;(1+x)z''(x)+2xz'(x)=0\Leftrightarrow\forall x>-1,\;z''(x)+\left(2- \frac{2}{1+x}\right)z'(x)=0\\ &\Leftrightarrow\forall x>-1,\;e^{2x-2\ln(1+x)}z''(x)+\left(2- \frac{2}{1+x}\right)e^{2x-2\ln(1+x)}z'(x)=0\\ &\Leftrightarrow\forall x>-1,\;\left( \frac{e^{2x}}{(x+1)^2}z'\right)'(x)=0\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x>-1,\;z'(x)=\lambda(x+1)^2e^{-2x}. \end{align*}\]

Maintenant

\[\begin{align*}\ensuremath \int_{}^{}(x+1)^2e^{-2x}\;dx&=- \frac{1}{2}(x+1)^2e^{-2x}+\int_{}^{}(x+1)e^{-2x}\;dx=- \frac{1}{2}(x+1)^2e^{-2x}- \frac{1}{2}(x+1)e^{-2x}+ \frac{1}{2}\int_{}^{}e^{-2x}\;dx\\ &=\left(- \frac{1}{2}(x+1)^2- \frac{1}{2}(x+1)- \frac{1}{4}\right)e^{-2x}+C=\left(- \frac{x^2}{4}- \frac{3x}{2}- \frac{5}{4}\right)e^{-2x}+C=- \frac{1}{4}(2x^2+6x+5)e^{-2x}+C \end{align*}\]

On en déduit que

\[\begin{align*}\ensuremath y\;\text{solution de}\;(E_H)\;\text{sur}\;]-1,+\infty[&\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x>-1,\;z'(x)=\lambda(x+1)^2e^{-2x}\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall x>-1,\;z(x)=- \frac{\lambda}{4}(2x^2+6x+5)e^{-2x}+\mu\\ &\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;\forall x>-1,\;y(x)=- \frac{\lambda}{4}(2x^2+6x+5)e^{-x}+\mu e^x. \end{align*}\]

Maintenant, \(\lambda\) décrit \(\Rr\) si et seulement si \(- \frac{\lambda}{4}\) décrit \(\Rr\) et en renommant la constante \(\lambda\), les solutions de \((E_H)\) sur \(]-1,+\infty[\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto\lambda(2x^2+6x+5)e^{-x}+\mu e^x\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\).

Recherche d’une solution particulière de \((E)\). Au vu du second membre, on peut chercher une solution particulière de la forme \(f_0~:~x\mapsto(ax+b)e^{-x}\), \((a,b)\in\Rr^2\).

\[\begin{align*}\ensuremath (1+x)((ax+b)e^{-x})''-2((ax+b)e^{-x})'+(1-x)(ax+b)e^{-x}&=((1+x)((ax+b)-2a)-2(-(ax+b)+a)\\ &+(1-x)(ax+b))e^{-x}\\ &=(2bx+(4b-4a))e^{-x}. \end{align*}\]

Par suite, \(f_0\) est solution de \((E)\) sur \(]-1,+\infty[\) si et seulement si \(2b=1\) et \(4b-4a=0\) ce qui équivaut à \(a=b= \frac{1}{2}\). Une solution de \((E)\) sur \(]-1,+\infty[\) est \(x\mapsto \frac{x+1}{2}e^{-x}\).

Puisque la fonction \(x\mapsto \frac{e^{-2x}}{\sqrt{x^2+1}}\) est continue sur \(\Rr\), les solutions de \((E)\) sur \(\Rr\) constituent un \(\Rr\)-espace affine de dimension \(2\).

L’équation caractéristique de l’équation homogène est \(z^2+4z+4=0\). Puisque cette équation admet \(-2\) pour racine double, les solutions de l’équation homogène associée sont les fonctions de la forme \(x\mapsto\lambda e^{-2x}+\mu xe^{-2x}\), \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\).

D’après la méthode de variation de la constante, il existe une solution particulière de \((E)\) sur \(\Rr\) de la forme \(x\mapsto\lambda(x)e^{-2x}+\mu(x)xe^{-2x}\) où \(\lambda\) et \(\mu\) sont deux fonctions dérivables sur \(\Rr\) telles que

\(\left\{ \begin{array}{l} \lambda'(x)e^{-2x}+\mu'(x)xe^{-2x}=0\\ -2\lambda'(x)e^{-2x}+\mu'(x)(-2x+1)e^{-2x}= \frac{e^{-2x}}{\sqrt{x^2+1}} \end{array} \right.\).

Les formules de Cramer fournissent \(\lambda'(x)= \frac{1}{e^{-4x}}\left| \begin{array}{cc} 0&xe^{-2x}\\ \frac{e^{-2x}}{\sqrt{x^2+1}}&(-2x+1)e^{-2x} \end{array} \right|=- \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) et

\(\mu'(x)= \frac{1}{e^{-4x}}\left| \begin{array}{cc} e^{-2x}&0\\ -2e^{-2x}& \frac{e^{-2x}}{\sqrt{x^2+1}} \end{array} \right|= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\). On peut prendre \(\lambda(x)=-\sqrt{x^2+1}\) et \(\mu(x)=\Argsh(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\) puis \(f_0(x)=\left(-\sqrt{x^2+1}+x\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)e^{-2x}\).

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