On définit à l’aide de la détermination principale du logarithme les fonctions \(f_1(z)=(z^3-1)^{1/2}\), \(f_2(z)=(z-1)^{1/2}(z-j)^{1/2}(z-j^2)^{1/2}\), et \(f_3(z)=(1-z)^{1/2}(iz-ij)^{1/2}(iz-ij^2)^{1/2}\), où \(j=e^{i\pi/3}\).
1
Trouver les domaines de définition des \(f_k\) et montrer que l’on a toujours \(f_k(z)^2=z^3-1\).
2
Montrer que l’on peut prolonger \(f_3\) par continuité sur un ouvert plus grand.