On définit les fonctions \(f_1\), \(f_2\) et \(f_3\) par les formules \[\begin{align*} f_1(z) &= \exp(\tfrac13[ \mathrm{Log}(z+1) + \mathrm{Log}(z) + \mathrm{Log}(z-1) + \mathrm{Log}(z - \sqrt3)]) \\ f_2(z) &= \exp(\tfrac13[ \mathrm{Log}(z+1) + \mathrm{Log}(-z) + \mathrm{Log}(1-z) + \mathrm{Log}(\sqrt3 - z) +i\pi]) \\ f_3(z) &= \exp(\tfrac13[\mathrm{Log}(-1-z) + \mathrm{Log}(-z) + \mathrm{Log}(1-z) + \mathrm{Log}(z-\sqrt3) + i\pi]) \ , \end{align*}\] où \(\mathrm{Log}\) désigne le logarithme principal.
Calculer \(f_1(\pm i)\), \(f_2(\pm i)\) et \(f_3(\pm i)\).
Déterminer les domaines de définition de \(f_1\), \(f_2\) et \(f_3\).
Démontrer que \(f_1\), \(f_2\) et \(f_3\) sont des déterminations continues de \(\root3 \of {z^4 -\sqrt3 z^3 -z^2 + \sqrt3 z}\).
Peut-on prolonger \(f_1\) sur un ouvert plus grand ? Si oui, lequel ?
Peut-on prolonger \(f_2\) sur un ouvert plus grand ? Si oui, lequel ?
Peut-on prolonger \(f_3\) sur un ouvert plus grand ? Si oui, lequel ?
Y-a-t-il un lien entre \(f_1\), \(f_2\) et \(f_3\) ?