L3 Analyse complexe Fonction logarithme et fonction puissance Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 6655

On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour 0<t<2π0<t<2\pi

∑1∞cos⁡ntn,∑1∞sin⁡ntn.\sum_1^\infty {\cos nt\over n},\quad \sum_1^\infty {\sin nt\over n}.

1

Rappeler pourquoi S(z)=−∑n≥1znnS(z)=-\sum_{n\geq 1}{z^n\over n} coincide sur DD avec la détermination principale Log(1−z)\hbox{Log}(1-z).

2

Soit r<1r<1; calculer ∑n≥1rncos⁡ntn\sum_{n\geq 1} {r^n\cos nt\over n} et ∑n≥1rnsin⁡ntn\sum_{n\geq 1} {r^n\sin nt\over n}.

3

En déduire la valeur de ces sommes (on pourra utiliser le théorème d’Abel).

Exercice m4wc

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