On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)
\[\sum_1^\infty {\cos nt\over n},\quad \sum_1^\infty {\sin nt\over n}.\]
1
Rappeler pourquoi \(S(z)=-\sum_{n\geq 1}{z^n\over n}\) coincide sur \(D\) avec la détermination principale \(\hbox{Log}(1-z)\).
2
Soit \(r<1\); calculer \(\sum_{n\geq 1} {r^n\cos nt\over n}\) et \(\sum_{n\geq 1} {r^n\sin nt\over n}\).
3
En déduire la valeur de ces sommes (on pourra utiliser le théorème d’Abel).