On considère l’application \[\begin{array}{cccc} L :& \Cc-\{z\in\Cc, re(z)=0\}&\longrightarrow&\Cc\\ &z=x+iy&\longmapsto& \frac{1}{2}\log_\Rr(x^2+y^2)+i\arctan (\frac{y}{x}). \end{array}\]
1
Montrer que \(L\) est holomorphe.
2
L’application \(L\) coïncide-t-elle avec la branche principale \(\log\) du logarithme sur
\(\{z\in\Cc, re(z)>0\}\) ?
3
L’application \(L\) est-elle un logarithme sur \(\{z\in\Cc, re(z)<0\}\) ?