L3 Analyse complexe Fonction logarithme et fonction puissance 3 questions

exo7 7551

On considère l’application L:C−{z∈C,re(z)=0}⟶Cz=x+iy⟼12log⁡R(x2+y2)+iarctan⁡(yx).\begin{array}{cccc} L :& \Cc-\{z\in\Cc, re(z)=0\}&\longrightarrow&\Cc\\ &z=x+iy&\longmapsto& \frac{1}{2}\log_\Rr(x^2+y^2)+i\arctan (\frac{y}{x}). \end{array}

1

Montrer que LL est holomorphe.

2

L’application LL coïncide-t-elle avec la branche principale log⁡\log du logarithme sur
{z∈C,re(z)>0}\{z\in\Cc, re(z)>0\} ?

3

L’application LL est-elle un logarithme sur {z∈C,re(z)<0}\{z\in\Cc, re(z)<0\} ?

Exercice mg2i

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