On note \(\mathrm{Log} : \Cc\setminus\,]-\infty,0] \to \Cc\) la détermination principale du logarithme, qui est réelle pour \(z\) réel positif. On pose
\[\begin{align*} f(z) &= \exp\bigl(\tfrac13\mathrm{Log}(z) + \tfrac13\mathrm{Log}(z-1) + \tfrac13\mathrm{Log}(z+1)\bigr) \\ g(z) &= \exp\bigl(\tfrac13\mathrm{Log}(-z) + \tfrac13\mathrm{Log}(1-z^2)\bigr) \ . \end{align*}\]
Déterminer les domaines de définition \(\Omega_f \subset \Cc\) de \(f\) et \(\Omega_g \subset \Cc\) de \(g\) et montrer que \(f\) et \(g\) sont des branches continues de \(\root3\of {z^3-z}\).
Est-ce-qu’on peut élargir le domaine de définition de \(f\), c’est à dire : existe-t-il un ouvert \(\widehat\Omega_f \subset \Cc\) et une fonction continue \(\widehat f : \widehat\Omega_f \to \Cc\) telle que \(\Omega_f \subset \widehat\Omega_f\) et pour tout \(z\in \Omega_f\) on a \(\widehat f(z) = f(z)\) ? N’oubliez pas de justifier votre réponse !
Est-ce-qu’on peut élargir le domaine de définition de \(g\) ?