L3 Analyse complexe Fonction logarithme et fonction puissance 3 questions

exo7 6806

On note Log:C∖ ]−∞,0]→C\mathrm{Log} : \Cc\setminus\,]-\infty,0] \to \Cc la détermination principale du logarithme, qui est réelle pour zz réel positif. On pose

f(z)=exp⁡(13Log(z)+13Log(z−1)+13Log(z+1))g(z)=exp⁡(13Log(−z)+13Log(1−z2)) .\begin{align*} f(z) &= \exp\bigl(\tfrac13\mathrm{Log}(z) + \tfrac13\mathrm{Log}(z-1) + \tfrac13\mathrm{Log}(z+1)\bigr) \\ g(z) &= \exp\bigl(\tfrac13\mathrm{Log}(-z) + \tfrac13\mathrm{Log}(1-z^2)\bigr) \ . \end{align*}

1

Déterminer les domaines de définition Ωf⊂C\Omega_f \subset \Cc de ff et Ωg⊂C\Omega_g \subset \Cc de gg et montrer que ff et gg sont des branches continues de z3−z3\sqrt[3]{z^3-z}.

2

Est-ce-qu’on peut élargir le domaine de définition de ff, c’est à dire : existe-t-il un ouvert Ω^f⊂C\widehat\Omega_f \subset \Cc et une fonction continue f^:Ω^f→C\widehat f : \widehat\Omega_f \to \Cc telle que Ωf⊂Ω^f\Omega_f \subset \widehat\Omega_f et pour tout z∈Ωfz\in \Omega_f on a f^(z)=f(z)\widehat f(z) = f(z) ? N’oubliez pas de justifier votre réponse !

3

Est-ce-qu’on peut élargir le domaine de définition de gg ?

Exercice volx

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