L3 Analyse complexe Fonction logarithme et fonction puissance Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 4 questions

exo7 7548

On définit cosh⁡z\cosh z comme la somme de la série ∑z2n(2n)!\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!} et sinh⁡z\sinh z comme la somme de la série ∑z2n+1(2n+1)!\sum \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

1

Déterminer leur rayon de convergence.

2

Exprimer cosh⁡\cosh et sinh⁡\sinh à l’aide de la fonction exponentielle.

3

Démontrer les formules d’addition pour cosh⁡(z+w)\cosh(z+w) et sinh⁡(z+w)\sinh(z+w) pour zz et ww dans C\Cc.

4

Démontrer que pour tous xx et yy dans R\Rr, cos⁡(x+iy)=cos⁡(x)cosh⁡(y)−isin⁡(x)sinh⁡(y)sin⁡(x+iy)=sin⁡(x)cosh⁡(y)+icos⁡(x)sinh⁡(y).\begin{aligned} \cos(x+iy)&=&\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\ \sin(x+iy)&=&\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y). \end{aligned}

Exercice Ypyt

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