On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) et \(\sinh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\).
1
Déterminer leur rayon de convergence.
2
Exprimer \(\cosh\) et \(\sinh\) à l’aide de la fonction exponentielle.
3
Démontrer les formules d’addition pour \(\cosh(z+w)\) et \(\sinh(z+w)\) pour \(z\) et \(w\) dans \(\Cc\).
4
Démontrer que pour tous \(x\) et \(y\) dans \(\Rr\), \[\begin{aligned} \cos(x+iy)&=&\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\ \sin(x+iy)&=&\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y). \end{aligned}\]