1
Soit \(\Omega={\Cc}\backslash [-1,1]\); montrer que la fonction \[g(z)=\hbox{exp}({1\over2}\hbox{Log}(z+1)+{1\over2}\hbox{Log}(z-1))\] se prolonge en une fonction continue sur \(\Omega\) et fournit ainsi une racine carrée holomorphe de \(z^2-1\) dans \(\Omega\), bien que \(\hbox{Log}(z^2-1)\) n’ait pas de prolongement continu à \(\Omega\).
2
Construire de même une racine carrée holomorphe de \(z^2+1\) sur l’ouvert connexe \(\Omega'{\Cc}\backslash [-i,i]\).