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Tout complexe $z$ qui n’est pas un réel positif ou nul peut s’écrire sous la forme $z = r e^{i \theta}$, avec $r > 0$ et $\theta\in\left]0,2\pi \right[$. On définit une fonction $f$ sur $\Omega = \C\setminus[0,+\infty [$ par $$f(z) = P(r, \theta)+iQ(r,\theta)$$ où $P$ et $Q$ sont des fonctions réelles données. Donner des conditions sur les dérivées partielles de $P$, $Q$ pour que $f$ soit holomorphe sur $\Omega$.

En déduire que la fonction $$\log z = \log r + i\theta$$ est holomorphe sur $\Omega$. Quelle est sa dérivée ?