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Tout complexe \(z\) qui n’est pas un réel positif ou nul peut s’écrire sous la forme \(z = r e^{i \theta}\), avec \(r > 0\) et \(\theta\in\left]0,2\pi \right[\). On définit une fonction \(f\) sur \(\Omega = \C\setminus[0,+\infty [\) par \[f(z) = P(r, \theta)+iQ(r,\theta)\] où \(P\) et \(Q\) sont des fonctions réelles données. Donner des conditions sur les dérivées partielles de \(P\), \(Q\) pour que \(f\) soit holomorphe sur \(\Omega\).
En déduire que la fonction \[\log z = \log r + i\theta\] est holomorphe sur \(\Omega\). Quelle est sa dérivée ?