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Soit \(\Omega\) un ouvert connexe de \(\Cc\) et \(f\) une fonction complexe sans zéro sur \(\Omega\). On rappelle que \(f\) admet un logarithme continu (resp. holomorphe) sur \(\Omega\) s’il existe une fonction \(g\) continue (resp. holomorphe) sur \(\Omega\) telle que \(e^{g(z)}=f(z)\).
Montrer que deux déterminations continues du logarithme de \(f\) sur \(\Omega\) diffèrent d’une constante \(2ki\pi\).
En reproduisant la démonstration du théorème d’inversion locale, montrer que si \(f\) admet sur \(\Omega\) un logarithme continu, elle y admet un logarithme holomorphe.