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Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\Cc$ et $f$ une fonction complexe sans zéro sur $\Omega$. On rappelle que $f$ admet un logarithme continu (resp. holomorphe) sur $\Omega$ s’il existe une fonction $g$ continue (resp. holomorphe) sur $\Omega$ telle que $e^{g(z)}=f(z)$.

Montrer que deux déterminations continues du logarithme de $f$ sur $\Omega$ diffèrent d’une constante $2ki\pi$.

En reproduisant la démonstration du théorème d’inversion locale, montrer que si $f$ admet sur $\Omega$ un logarithme continu, elle y admet un logarithme holomorphe.