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Montrer qu’il existe une (unique) fonction analytique sur \(\Cc\setminus[-1,1]\) qui vaut \(\sqrt{a^2-1}\) pour \(a>1\). Indication : montrer pour commencer que la formule \(f(a) = \exp(\frac12 \mathrm{Log}(a-1) + \frac12\mathrm{Log}(a+1))\) donne une solution sur l’ouvert \(\Cc\setminus]-\infty,1]\). Puis montrer que \(g(a) = -\exp(\frac12 \mathrm{Log}(-a-1) + \frac12\mathrm{Log}(-a+1)) = -f(-a)\) est analytique sur \(\Cc\setminus[-1,+\infty[\). Enfin montrer que \(g(a) = f(a)\) dans le demi-plan supérieur et aussi dans le demi-plan inférieur en calculant \(f(\pm i)\) et donc \(g(\pm i)\) et en expliquant pourquoi a priori le quotient \(g(a)/f(a)\) est constant dans ces deux demi-plans.