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Montrer qu’il existe une (unique) fonction analytique sur $\Cc\setminus[-1,1]$ qui vaut $\sqrt{a^2-1}$ pour $a>1$. Indication : montrer pour commencer que la formule $f(a) = \exp(\frac12 \mathrm{Log}(a-1) + \frac12\mathrm{Log}(a+1))$ donne une solution sur l’ouvert $\Cc\setminus]-\infty,1]$. Puis montrer que $g(a) = -\exp(\frac12 \mathrm{Log}(-a-1) + \frac12\mathrm{Log}(-a+1)) = -f(-a)$ est analytique sur $\Cc\setminus[-1,+\infty[$. Enfin montrer que $g(a) = f(a)$ dans le demi-plan supérieur et aussi dans le demi-plan inférieur en calculant $f(\pm i)$ et donc $g(\pm i)$ et en expliquant pourquoi a priori le quotient $g(a)/f(a)$ est constant dans ces deux demi-plans.