On considère la fonction analytique \(\phi(a) = \mathrm{Log}(a-1) - \mathrm{Log}(a+1)\) dans le demi-plan supérieur et la fonction analytique \(\psi(a) = \mathrm{Log}(a-1) - \mathrm{Log}(a+1)\) dans le demi-plan inférieur. Montrer que \(\phi\) et \(\psi\) sont la restriction à leurs demi-plans respectifs d’une fonction analytique sur \(\Cc\setminus[-1,+1]\). Indication : il y a plusieurs raisonnements possibles et plusieurs indications possibles. Donc, débrouillez vous.
On considère la fonction \(a\mapsto \frac{a-1}{a+1}\). Quelle est l’image par cette fonction de l’intervalle \(]-1,1[\)? Quelle est l’image par cette fonction de \(\Cc\setminus[-1,+1]\)? En déduire que la fonction composée \(\Phi(a) = \mathrm{Log}\frac{a-1}{a+1}\) existe et est analytique sur \(\Cc\setminus[-1,+1]\). Retrouver le résultat de la question précédente (et montrer que \(\phi\), \(\psi\) et \(\Phi\) coïncident dans les intersections deux-à-deux de leurs ouverts de définitions).
Quel est le développement en série de Laurent de la fonction analytique \(\Phi\) dans la couronne \(1<|a|<\infty\)? Que vaut par exemple \(\int_{|a|=2} \Phi(a)a^{18} da\)?