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On considère la fonction analytique $\phi(a) = \mathrm{Log}(a-1) - \mathrm{Log}(a+1)$ dans le demi-plan supérieur et la fonction analytique $\psi(a) = \mathrm{Log}(a-1) - \mathrm{Log}(a+1)$ dans le demi-plan inférieur. Montrer que $\phi$ et $\psi$ sont la restriction à leurs demi-plans respectifs d’une fonction analytique sur $\Cc\setminus[-1,+1]$. Indication : il y a plusieurs raisonnements possibles et plusieurs indications possibles. Donc, débrouillez vous.

On considère la fonction $a\mapsto \frac{a-1}{a+1}$. Quelle est l’image par cette fonction de l’intervalle $]-1,1[$? Quelle est l’image par cette fonction de $\Cc\setminus[-1,+1]$? En déduire que la fonction composée $\Phi(a) = \mathrm{Log}\frac{a-1}{a+1}$ existe et est analytique sur $\Cc\setminus[-1,+1]$. Retrouver le résultat de la question précédente (et montrer que $\phi$, $\psi$ et $\Phi$ coïncident dans les intersections deux-à-deux de leurs ouverts de définitions).

Quel est le développement en série de Laurent de la fonction analytique $\Phi$ dans la couronne $1<|a|<\infty$? Que vaut par exemple $\int_{|a|=2} \Phi(a)a^{18} da$?