Si $A$ est de rang $n$ , c’est-à-dire inversible, l’égalité $(\text{com}A)\times\frac{1}{\text{det}A}{^t}A =I_n$ montre que $\text{com}A$ est inversible et donc de rang $n$ .

Dans ce qui suit, le lien entre le rang d’une matrice et la nullité des différents mineurs est hors programme. On suppose maintenant $\text{rg}(A)\leqslant n-1$ .

Si $\text{rg}A\leqslant n-2$ . Montrons que tous les mineurs de format $n-1$ extraits de $A$ sont nuls.

Soient $j_1$ ,…, $j_{n-1}$ , $n-1$ numéros de colonnes deux à deux distincts puis $A'\in\mathcal{M}_{n,n-1}(\Kk)$ dont les colonnes sont $C_{j_1}$ ,…, $C_{j_{n-1}}$ . Puisque $A$ est de rang au plus $n-2$ , la famille des colonnes de $A'$ est liée et donc $A'$ est de rang au plus $n-2$ . Il en est de même de la matrice ${^t}A'\in\mathcal{n-1,n}(\Kk)$ et donc toute matrice $A''$ obtenue en supprimant l’une des colonnes de $A'$ est carrée, de format $n-1$ , non inversible. Son déterminant est donc nul.

Ainsi, tout déterminant obtenu en supprimant une ligne et une colonne de $\text{det}(A)$ est nul ou encore tous les mineurs de format $n-1$ extraits de $A$ sont nuls. Finalement, si $\text{rg}A\leqslant n-2$ , $\text{com}A= 0$ .

Il reste à étudier le cas où $\text{rg}A=n-1$ et donc $\text{dim}KerA = 1$ .

L’égalité $\text{det}A=0$ impose $A{^t}(\text{com}A) = 0$ . Mais alors $\text{Im}({^t}(\text{com}A))\subset\text{Ker}A$ et en particulier $\text{rg}(\text{com}A)=\text{rg}({^t}(\text{com}A))\leqslant\text{dim}(\text{Ker}A)=1$ . Ainsi, si $\text{rg}(A)=n-1$ alors $\text{rg}(\text{com}A)\in\{0,1\}$ .

Montrons que l’un au moins des mineurs de format $n-1$ extraits de $A$ est non nul ce qui montrera que $\text{rg}(\text{com}A)=1$ .

Puisque $\text{rg}A=n-1$ , il existe $n-1$ colonnes $C_{j_1}$ ,…, $C_{j_{n-1}}$ de $A$ constituant une famille libre. La matrice $A'\in\mathcal{M}_{n,n-1}(\Kk)$ constituée par ces colonnes est de rang $n-1$ . Il en est de même de sa transposée. Mais alors, il existe $n-1$ colonnes de ${^t}A'$ linéairement indépendantes. La matrice $A''$ constituée de ces $n-1$ colonnes est carrée de format $n-1$ et de rang $n-1$ . $A''$ est donc inversible et il en est de même de ${^t}A''$ . Le déterminant de ${^t}A''$ est un mineur de format $n-1$ extrait de $A$ et non nul.

En résumé,

$\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ , $\text{rg}(\text{com}A) =\left\{ \begin{array}{l} n\;\text{si}\;\text{rg}(A) = n\\ 1\;\text{si}\;\text{rg}(A) = n-1\\ 0\;\text{si}\;\text{rg}(A)\leqslant n-2 \end{array} \right.$ .

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