Les expressions $x(t)=\frac{1}{t^2-t}$ et $y(t)=\frac{t}{t^2-1}$ sont bien définies, et de classe $\mathcal{C}^1$ en dehors de $t=0$ et $t=\pm1$ . Le domaine de définition est donc

$\mathcal{D}=\,]-\infty;-1[\ \cup\ ]-1;0[\ \cup\ ]0;1[\ \cup\ ]1;+\infty[$ La courbe possède un point double si elle se recoupe: on cherche donc deux paramètres $t_1,t_2\in\mathcal{D}$ tels que $t_1\not=t_2$ et $M=M(t_1)=M(t_2)$ , i.e. $\begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{t_1^2-t_1}=\frac{1}{t_2^2-t_2}\\ \ \\ \frac{t_1}{t_1^2-1}=\frac{t_2}{t_2^2-1} \end{array}\right. &\Longleftrightarrow&\left\{\begin{array}{l} t_1^2-t_1=t_2^2-t_2\\ t_1(t_2^2-1)-t_2(t_1^2-1)=0 \end{array}\right.\\ &\Longleftrightarrow&\left\{\begin{array}{l} (t_1-t_2)(t_1+t_2-1)=0\\ (t_2-t_1)(t_1t_2+1)=0 \end{array}\right. \end{aligned}$ Comme on cherche $t_1\not=t_2$ , le système obtenu est équivalent à $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}t_1+t_2=1\\t_1t_2=-1\end{array}\right.$ , autrement dit à un système du type somme-produit: cela signifie que $t_1$ et $t_2$ doivent être les deux racines (distinctes) de $X^2-X-1$ , c’est-à-dire $\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ (qui sont bien dans $\mathcal{D}$ ). On a donc un seul point double, c’est $M\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=M\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$ de coordonnées cartésiennes $(1,1)$ . Pour déterminer les tangentes en ce point, on calcule le vecteur dérivé: $\vec{V}(t)=\left\{\begin{array}{l} x'(t)=\frac{1-2t}{(t^2-t)^2}\\ \ \\ y'(t)=\frac{-1-t^2}{(t^2-1)^2} \end{array}\right.$ En remplaçant, on obtient $\vec{V}(t_1)=\begin{pmatrix}x'(t_1)\\y'(t_1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sqrt{5}\\ \frac{-5-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\quad\text{ et } \quad \vec{V}(t_2)=\begin{pmatrix}x'(t_2)\\y'(t_2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\sqrt{5}\\ \frac{-5+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}$ Les deux tangentes à la courbe au point de coordonnées $(1,1)$ sont donc dirigées respectivement par les vecteurs $\vec{V}(t_1)$ et $\vec{V}(t_2)$ , dont on vérifie en faisant le produit scalaire $\vec{V}_1\cdot\vec{V}_2=x'(t_1)x'(t_2)+y'(t_1)y'(t_2)=0$ qu’ils sont orthogonaux.

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