Les expressions \(x(t)=\frac{1}{t^2-t}\) et \(y(t)=\frac{t}{t^2-1}\) sont bien définies, et de classe \(\mathcal{C}^1\) en dehors de \(t=0\) et \(t=\pm1\). Le domaine de définition est donc

\[\mathcal{D}=\,]-\infty;-1[\ \cup\ ]-1;0[\ \cup\ ]0;1[\ \cup\ ]1;+\infty[\] La courbe possède un point double si elle se recoupe: on cherche donc deux paramètres \(t_1,t_2\in\mathcal{D}\) tels que \(t_1\not=t_2\) et \(M=M(t_1)=M(t_2)\), i.e. \[\begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{t_1^2-t_1}=\frac{1}{t_2^2-t_2}\\ \ \\ \frac{t_1}{t_1^2-1}=\frac{t_2}{t_2^2-1} \end{array}\right. &\Longleftrightarrow&\left\{\begin{array}{l} t_1^2-t_1=t_2^2-t_2\\ t_1(t_2^2-1)-t_2(t_1^2-1)=0 \end{array}\right.\\ &\Longleftrightarrow&\left\{\begin{array}{l} (t_1-t_2)(t_1+t_2-1)=0\\ (t_2-t_1)(t_1t_2+1)=0 \end{array}\right.\end{aligned}\] Comme on cherche \(t_1\not=t_2\), le système obtenu est équivalent à \(\displaystyle\left\{\begin{array}{l}t_1+t_2=1\\t_1t_2=-1\end{array}\right.\), autrement dit à un système du type somme-produit: cela signifie que \(t_1\) et \(t_2\) doivent être les deux racines (distinctes) de \(X^2-X-1\), c’est-à-dire \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) (qui sont bien dans \(\mathcal{D}\)). On a donc un seul point double, c’est \[M\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=M\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\] de coordonnées cartésiennes \((1,1)\). Pour déterminer les tangentes en ce point, on calcule le vecteur dérivé: \[\vec{V}(t)=\left\{\begin{array}{l} x'(t)=\frac{1-2t}{(t^2-t)^2}\\ \ \\ y'(t)=\frac{-1-t^2}{(t^2-1)^2} \end{array}\right.\] En remplaçant, on obtient \[\vec{V}(t_1)=\begin{pmatrix}x'(t_1)\\y'(t_1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sqrt{5}\\ \frac{-5-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\quad\text{ et } \quad \vec{V}(t_2)=\begin{pmatrix}x'(t_2)\\y'(t_2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\sqrt{5}\\ \frac{-5+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\] Les deux tangentes à la courbe au point de coordonnées \((1,1)\) sont donc dirigées respectivement par les vecteurs \(\vec{V}(t_1)\) et \(\vec{V}(t_2)\), dont on vérifie en faisant le produit scalaire \(\vec{V}_1\cdot\vec{V}_2=x'(t_1)x'(t_2)+y'(t_1)y'(t_2)=0\) qu’ils sont orthogonaux.

exo7 6985