On peut choisir un repère orthonormé dans lequel $(\mathcal{H})$ admet pour équation équation cartésienne $xy = ab$ et $P$ a pour coordonnées $(a,b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs.

\[\]

Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $P$ et de rayon $PQ = 2OP$ admet la paramétrisation $\left\{ \begin{array}{l} x=a+2\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\\ y=b+2\sqrt{a^2+b^2}\sin\theta \end{array} \right.$ .

Soit $M(a+2\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta,b+2\sqrt{a^2+b^2}\sin\theta)$ , $\theta\in\Rr$ , un point du cercle $\mathcal{C}$ .

$\begin{align*}\ensuremath M(x,y)\in(\mathcal{H})&\Leftrightarrow (a+2\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta)(b+2\sqrt{a^2+b^2}\sin\theta) = ab\\ &\Leftrightarrow(a^2+b^2)\cos\theta\sin\theta + 2\sqrt{a^2+b^2}(b\cos\theta+a\sin\theta) = 0\\ &\Leftrightarrow\sin(2\theta)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta= 0\\ &\Leftrightarrow\sin(2\theta) +\sin(\theta+\theta_0) = 0\;\text{où}\;\theta_0 =\Arccos\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) \\ &\Leftrightarrow\sin\left(\frac{3\theta+\theta_0}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta-\theta_0}{2}\right)=0\Leftrightarrow\theta=\theta_0 +\pi\;(2\pi)\;\text{ou}\;\theta=-\frac{\theta_0}{3}\;\left(\frac{2\pi}{3}\right). \end{align*}$

Les égalités $\theta=\theta_0 +\pi\;(2\pi)$ fournissent le point $Q$ .

Les égalités $\theta=-\frac{\theta_0}{3}\;\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ fournissent trois valeurs deux à deux distinctes de $\theta$ modulo $2\pi$ et donc trois points deux à deux distincts $M_1$ , $M_2$ et $M_3$ de l’hyperbole tels que les trois angles au centre $P$ du triangle $M_1M_2M_3$ soient égaux à $\frac{2\pi}{3}$ . Puisque $P$ est le centre du cercle circonscrit à ce triangle, ce triangle est équilatéral de centre $P$ .

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