Le polynôme nul convient. Dans la suite on suppose que $P$ n’est pas le polynôme nul.

Notons $n = \deg P$ son degré. Comme $P'$ divise $P$ , alors $P$ est non constant, donc $n\ge 1$ . Soit $Q\in\Cc[X]$ tel que $P=P'Q$ . Puisque $\deg(P')=\deg(P)-1\ge 0$ , alors $Q$ est de degré $1$ . Ainsi $Q(X)=aX+b$ avec $a\neq0$ , et donc $P(X)=P'(X)(aX+b)=aP'(X)(X+\frac{b}{a})$ Donc si $z\not=\frac{-b}{a}$ et si $z$ est racine de $P$ de multiplicité $k \ge 1$ , alors $z$ est aussi racine de $P'$ avec la même multiplicité, ce qui est impossible. Ainsi la seule racine possible de $P$ est $\frac{-b}{a}$ .

Réciproquement, soit $P$ un polynôme avec une seule racine $z_0 \in \Cc$ : il existe $\lambda\not=0$ , $n\ge 1$ tels que $P=\lambda(X-z_0)^n$ , qui est bien divisible par son polynôme dérivé.

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