Un cercle de rayon \(R\) roule sans glisser sur l’axe \({\rm O}x\) dans le sens des \(x\) croissants. Soit C la courbe décrite par le point M lié à la circonférence qui, dans la position initiale, coı̈ncide avec l’origine O (cycloı̈de). Soit \({\rm M}(\theta)\) la position du point M quand le cercle a tourné d’un angle \(\theta\) à partir de la position initiale et \(\Omega(\theta)\) le point de contact correspondant entre la circonférence et l’axe \({\rm O}x\).
Déterminer l’abscisse de \(\Omega(\theta)\) et les coordonnées \(x(\theta)\) et \(y(\theta)\) du point \({\rm M}(\theta)\). Montrer que la courbe C est périodique et représenter graphiquement la première période.
Déterminer, en fonction de \(\theta\), le vecteur tangent \(d\overrightarrow{\rm OM}/d\theta\), le vecteur tangent unitaire \(\overrightarrow{\rm T}\), et l’élément de longueur \(ds\).
Déterminer le vecteur normal unitaire \(\overrightarrow{\rm N}\) et le rayon de courbure \(\rho\) au point paramétré par \(\theta\). Montrer que le centre de courbure est situé sur la droite définie par \({\rm M}(\theta)\) et \(\Omega(\theta)\), et préciser sa position sur cette droite.
(facultatif) L’angle de rotation est défini en fonction du temps par la fonction \(\theta(t)\). Calculer le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) du point M à l’instant \(t\). Montrer que \(\overrightarrow{v}\) s’exprime en fonction de \(\Omega{\rm M}\), \(d\theta/dt\) et \(\overrightarrow{\rm T}\), et donner un vecteur \(\overrightarrow{\omega}\) orthogonal au plan du mouvement tel que \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega}\land \overrightarrow{\Omega {\rm M}}\). Obtenir géométriquement à un instant donné quelconque le vecteur vitesse d’un point P quelconque de la circonférence.