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Déterminer l’abscisse de $\Omega(\theta)$ et les coordonnées $x(\theta)$ et $y(\theta)$ du point ${\rm M}(\theta)$. Montrer que la courbe C est périodique et représenter graphiquement la première période.

Déterminer, en fonction de $\theta$, le vecteur tangent $d\overrightarrow{\rm OM}/d\theta$, le vecteur tangent unitaire $\overrightarrow{\rm T}$, et l’élément de longueur $ds$.

Déterminer le vecteur normal unitaire $\overrightarrow{\rm N}$ et le rayon de courbure $\rho$ au point paramétré par $\theta$. Montrer que le centre de courbure est situé sur la droite définie par ${\rm M}(\theta)$ et $\Omega(\theta)$, et préciser sa position sur cette droite.

(facultatif) L’angle de rotation est défini en fonction du temps par la fonction $\theta(t)$. Calculer le vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ du point M à l’instant $t$. Montrer que $\overrightarrow{v}$ s’exprime en fonction de $\Omega{\rm M}$, $d\theta/dt$ et $\overrightarrow{\rm T}$, et donner un vecteur $\overrightarrow{\omega}$ orthogonal au plan du mouvement tel que $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega}\land \overrightarrow{\Omega {\rm M}}$. Obtenir géométriquement à un instant donné quelconque le vecteur vitesse d’un point P quelconque de la circonférence.