L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 3 questions

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Soit EE un espace vectoriel et f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) tel que pour tout x⃗∈E\vec x \in E, la famille (x⃗,f(x⃗))\bigl(\vec x, f(\vec x)\bigr) est liée.

1

Montrer que si x⃗≠0⃗\vec x \ne \vec 0, il existe un unique scalaire λx⃗\lambda_{\vec x} tel que f(x⃗)=λx⃗x⃗f(\vec x) = \lambda_{\vec x}\vec x.

2

Comparer λx⃗\lambda_{\vec x} et λy⃗\lambda_{\vec y} lorsque (x⃗,y⃗)(\vec x, \vec y) est libre.

3

Montrer que ff est une homothétie.

Exercice qnYn

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