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Donner la définition d’un vecteur tangent à $M$ au point $x \in M$. Donner la définition d’un champ de vecteurs sur $M$.

Soit $f$ une fonction sur $M$ et $\alpha$ une 1-forme sur $M$. Donner la définition de $df$ sans utiliser une carte de $M$. Donner la définition de $d\alpha$.

Soit $X$ un vecteur tangent à $M$ au point $x\in M$. Montrer que $\bigl(\ df|_x(X) \equiv\ \bigr)\ Xf = \mathbf{0}$. En déduire que $X \in \operatorname{ker}(J(x))$ (où $J(x)$ est la matrice jacobienne de $f$ en $x$).

Soit $X$ un vecteur tangent $\underline{ \text{à\ } \Rr^n}$ au point $x\in M$, et supposons que $Xf = \mathbf{0}$, et que $\operatorname{rang}(J(x)) = p$. Montrer que $k=n-p$ et que $X$ est un vecteur tangent $\underline{ \text{à }M}$.