Soit \(f:\Rr^n \to \Rr^p\) une fonction dérivable et soit \(M = f^{-1}(\mathbf{0})\). On suppose que \(M\) est une sous-variété de \(\Rr^n\) de dimension \(k\).
Donner la définition d’un vecteur tangent à \(M\) au point \(x \in M\). Donner la définition d’un champ de vecteurs sur \(M\).
Soit \(f\) une fonction sur \(M\) et \(\alpha\) une 1-forme sur \(M\). Donner la définition de \(df\) sans utiliser une carte de \(M\). Donner la définition de \(d\alpha\).
Soit \(X\) un vecteur tangent à \(M\) au point \(x\in M\). Montrer que \(\bigl(\ df|_x(X) \equiv\ \bigr)\ Xf = \mathbf{0}\). En déduire que \(X \in \operatorname{ker}(J(x))\) (où \(J(x)\) est la matrice jacobienne de \(f\) en \(x\)).
Soit \(X\) un vecteur tangent \(\underline{ \text{à\ } \Rr^n}\) au point \(x\in M\), et supposons que \(Xf = \mathbf{0}\), et que \(\operatorname{rang}(J(x)) = p\). Montrer que \(k=n-p\) et que \(X\) est un vecteur tangent \(\underline{ \text{à }M}\).