On raisonne par double inclusion : si \(A\subset B\) et \(B\subset A\) alors \(A=B\).

\([\subset]\) : si \(x \in \overline{A\cup B}\), cela veut dire que \(x\) n’est pas dans \(A\cup B\), dont il n’est ni dans \(A\), ni dans \(B\). Il est ainsi dans \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) : donc \(x\in \overline{A}\cap \overline{B}\).
\([\supset]\) : si \(x\in \overline{A}\cap \overline{B}\), cela veut dire que \(x\) n’est pas dans \(A\) et \(x\) n’est pas dans \(B\). Il n’est donc ni dans \(A\), ni dans \(B\), donc pas dans \(A\cup B\). Ainsi, \(x\in \overline{A\cup B}\)
\([\subset]\) : si \(x \in \overline{A\cap B}\), cela veut dire que \(x\) n’est pas dans \(A\cap B\), donc il n’est pas dans \(A\), ou pas dans \(B\). Donc il est dans \(\overline{A}\) ou dans \(\overline{B}\) : donc \(x\in \overline{A}\cup \overline{B}\).
\([\supset]\) : si \(x\in \overline{A}\cup \overline{B}\), cela veut dire que \(x\) est dans \(\overline{A}\) ou dans \(\overline{B}\). Ainsi, il n’est pas dans \(A\) ou pas dans \(B\). Dans tous les cas, il n’est pas dans \(A\cap B\) : \(x\in \overline{A\cap B}\).
\([\subset]\) : si \(x \in A\cup (B\cap C)\), cela veut dire que \(x\) est dans \(A\), ou dans \(B\cap C\), donc dans \(A\) ou dans \(B\) et \(C\). Dans tous les cas, il est dans \(A\cup B\) et dans \(A \cup C\) : \(x \in (A\cup B)\cap (A\cup C)\).
\([\supset]\) : si \(x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)\), cela veut dire que \(x\) est dans\(A\cup B\) et dans \(A\cup C\). Donc \(x\) est dans \(A\), ou alors il est dans \(B\) et \(C\), donc dans \(A\) ou dans \(B\cap C\) : \(x \in A\cup (B\cap C)\).
\([\subset]\) : si \(x\in A\cap (B\cup C)\), cela veut dire que \(x\) est dans \(A\) et dans \(B\cup C\), donc dans \(A\) et dans \(B\) ou \(C\). Donc \(x\) est dans \(A\) et \(B\), ou dans \(A\) et \(C\) : \(x \in (A\cap B)\cup(A\cap C)\). \([\supset]\) : si \(x \in (A\cap B)\cup(A\cap C)\), cela veut dire que \(x\) est dans \(A\cap B\) ou dans \(A\cap C\), donc dans \(A\) et \(B\), ou dans \(A\) et \(C\). Dans tous les cas, \(x\) est dans \(A\) et dans \(B\) ou \(C\) : \(x \in A\cap(B\cup C)\).

Lois de de Morgan et distributivités