On définit les deux suites suivantes pour tout \(n\) entier naturel non nul : \[u_n=\frac{(n+1)(n+2)...(2n)}{(2n)^n} \quad \text{ et } \quad v_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}.\] On s’intéresse à la nature de la série de terme général \(u_n\) et de la série de terme général \(v_n\).
1
Appliquer le critère de d’Alembert à ces deux séries. Que peut-on conclure sur la nature des séries de terme général \(u_n\) et \(v_n\) ?
2
En comparant la série de terme général \(v_n\) à une série usuelle, déterminer sa nature.