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Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante \(\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{1 + x^4 \sin^2 x}.\)
Pour cela, on considère la série de terme général \[u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{dx}{1 + x^4 \sin^2 x} .\] Par un changement de variable, transformer \(u_n\) en \[u_n =\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1 + (n\pi + x)^4 \sin^2 x}\] Encadrer ensuite \(u_n\) par les termes de la suite \(v_n\) où \[v_n =\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1 + (n\pi)^4 \sin^2 x}\] Calculer explicitement l’intégrale \(v_n\) et en déduire un équivalent de \(u_n\). Conclure.