Soit \(n\in\Nn\).

\[\begin{align*}\ensuremath 2n^3-3n^2+1&=2(n+3)(n+2)(n+1)-15n^2 - 22n -11= 2(n+3)(n+2)(n+1)-15(n+3)(n+2) +53n+79\\ &= 2(n+3)(n+2)(n+1)-15(n+3)(n+2)+53(n+3)-80 \end{align*}\]

Donc

\[\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2n^3-3n^2+1}{(n+3)!}&=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{2}{n!}-\frac{15}{(n+1)!}+\frac{53}{(n+2)!}-\frac{80}{(n+3)!}\right)=2e-15(e-1)+53(e-2)-80\left(e-\frac{5}{2}\right)\\ &=-40e + 111. \end{align*}\]

Pour \(n\in\Nn\), on a \(u_{n+1}=\frac{n+1}{a+n+1}u_n\). Par suite \((n+a+1)u_{n+1}= (n+1)u_n = (n+a)u_n + (1-a)u_n\) puis

\((1-a)\sum_{k=1}^{n}u_k=\sum_{k=1}^{n}(k+a+1)u_{k+1}-\sum_{k=1}^{n}(k+a)u_k =(n+a+1)u_{n+1}-(a+1)u_1 =(n+a+1)u_{n+1}-1.\)

Si \(a = 1\), \(\forall n\in\Nn^*\), \(u_n=\frac{1}{n+1}\). Dans ce cas, la série diverge.

Si \(a\neq 1\), \(\forall n\in\Nn^*\), \(\sum_{k=1}^{n}u_k=\frac{1}{1-a}((n+a+1)u_{n+1} - 1)=\frac{1}{a-1}- \frac{1}{a-1}(a+n+1)u_{n+1}\).

Si \(a > 1\), la suite \(u\) est strictement positive et la suite des sommes partielles \((S_n)\) est majorée par \(\frac{1}{a-1}\). Donc la série de terme général \(u_n\) converge. Il en est de même de la suite \(((a+n+1)u_{n+1})\). Soit \(\ell=\lim_{n \rightarrow +\infty}(a+n+1)u_{n+1}\).

Si \(\ell\neq0\), \(u_{n+1}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ell}{n+a+1}\) contredisant la convergence de la série de terme général \(u_n\). Donc \(\ell= 0\) et

si \(a > 1\), \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n=\frac{1}{a-1}\).

Si \(0<a<1\), pour tout \(n\in\Nn^*\), \(u_n\geqslant\frac{1\times2\times\ldots\times n}{2\times3\ldots\times(n+1)}=\frac{1}{n+1}\). Dans ce cas, la série diverge.

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