Si $\alpha<0$ , $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n^{-2\alpha}$ et si $\alpha=0$ , $u_n=1+(-1)^n$ . Donc si $\alpha\leqslant0$ , $u_n$ ne tend pas vers $0$ . La série de terme général $u_n$ diverge grossièrement dans ce cas.

On suppose dorénavant que $\alpha> 0$ . Pour tout entier naturel non nul $n$ , $|u_n|\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{n^\alpha}$ et donc la série de terme général $u_n$ converge absolument si et seulement si $\alpha> 1$ .

Il reste à étudier le cas où $0 <\alpha\leqslant1$ . On a $u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}+\frac{1}{n^{2\alpha}}$ . La suite $\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)_{n\geqslant1}$ tend vers $0$ en décroissant et donc la série de terme général $\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. On en déduit que la série de terme général $u_n$ converge si et seulement si la série de terme général $\frac{1}{n^{2\alpha}}$ converge ou encore si et seulement si $\alpha>\frac{1}{2}$ .

En résumé

Si

\alpha\leqslant0

, la série de terme général

\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}

diverge grossièrement,

si

0 <\alpha\leqslant\frac{1}{2}

, la série de terme général

\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}

diverge,

si

\frac{1}{2}<\alpha\leqslant1

, la série de terme général

\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}

est semi convergente,

si

\alpha> 1

, la série de terme général

\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}

converge absolument.

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