L1 Analyse Série numérique Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 4 questions

exo7 4496

Soit $S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}$ .

Pour quelles valeurs de $t$ $S(t)$ a-t-elle un sens ?

Montrer que $S(t) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{t^k}{1-t^k}$ .

Soit $F_m(t) = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}\frac{t^k(1-t)}{1-t^k}$ . Montrer que $(F_m(t))$ converge uniformément vers $(1-t)S(t)$ sur $[0,1]$ . En déduire la limite en $1$ de $(1-t)S(t)$ . On rappelle que $\ln2 = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}m$ .

Calculer le développement en série entière de $S(t)$ . Donner une interprétation arithmétique des coefficients de ce développement et préciser leur signe en fonction de $n$ .