Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).
1
Pour quelles valeurs de \(t\) \(S(t)\) a-t-elle un sens ?
2
Montrer que \(S(t) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{t^k}{1-t^k}\).
3
Soit \(F_m(t) = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}\frac{t^k(1-t)}{1-t^k}\). Montrer que \((F_m(t))\) converge uniformément vers \((1-t)S(t)\) sur \([0,1]\). En déduire la limite en \(1\) de \((1-t)S(t)\). On rappelle que \(\ln2 = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}m\).
4
Calculer le développement en série entière de \(S(t)\). Donner une interprétation arithmétique des coefficients de ce développement et préciser leur signe en fonction de \(n\).