Non. La deuxième affirmation implique la première mais la première n’implique pas la deuxième. La première phrase est la traduction avec des quantificateurs de l’égalité \(fg=0\). La deuxième phrase est la traduction avec quantificateurs de \((f=0\;\mbox{ou}\;g=0)\). Voici un exemple de fonctions \(f\) et \(g\) toutes deux non nulles dont le produit est nul. Soient \(\begin{array}[t]{cccc} f~:&\Rr&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;x<0\\ x\;\mbox{si}\;x\geq0 \end{array} \right. \end{array}\) et \(\begin{array}[t]{cccc} g~:&\Rr&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;x>0\\ x\;\mbox{si}\;x\leq0 \end{array} \right. \end{array}\). Pour chaque valeur de \(x\), on a soit \(f(x)=0\) (quand \(x\leq0\)), soit \(g(x)=0\) (quand \(x\geq0\)). On a donc : \(\forall x\in\Rr,\;(f(x)=0\;\mbox{ou}\;g(x)=0)\) ou encore \(\forall x\in\Rr,\;f(x)g(x)=0\) ou enfin, \(fg=0\). Cependant, \(f(1)=1\neq0\) et donc \(f\neq0\), et \(g(-1)=-1\neq0\) et donc \(g\neq0\). Ainsi, on n’a pas \((f=0\;\mbox{ou}\;g=0)\) ou encore, on n’a pas \(((\forall x\in\Rr,\;f(x)=0)\;\mbox{ou}\;(\forall x\in\Rr,\;g(x)=0))\).

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