Non. La deuxième affirmation implique la première mais la première n’implique pas la deuxième. La première phrase est la traduction avec des quantificateurs de l’égalité $fg=0$ . La deuxième phrase est la traduction avec quantificateurs de $(f=0\;\mbox{ou}\;g=0)$ . Voici un exemple de fonctions $f$ et $g$ toutes deux non nulles dont le produit est nul. Soient $\begin{array}{cccc} f~:&\Rr&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;x<0\\ x\;\mbox{si}\;x\geq0 \end{array} \right. \end{array}$ et $\begin{array}{cccc} g~:&\Rr&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;x>0\\ x\;\mbox{si}\;x\leq0 \end{array} \right. \end{array}$ . Pour chaque valeur de $x$ , on a soit $f(x)=0$ (quand $x\leq0$ ), soit $g(x)=0$ (quand $x\geq0$ ). On a donc : $\forall x\in\Rr,\;(f(x)=0\;\mbox{ou}\;g(x)=0)$ ou encore $\forall x\in\Rr,\;f(x)g(x)=0$ ou enfin, $fg=0$ . Cependant, $f(1)=1\neq0$ et donc $f\neq0$ , et $g(-1)=-1\neq0$ et donc $g\neq0$ . Ainsi, on n’a pas $(f=0\;\mbox{ou}\;g=0)$ ou encore, on n’a pas $((\forall x\in\Rr,\;f(x)=0)\;\mbox{ou}\;(\forall x\in\Rr,\;g(x)=0))$ .

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