Posons $d=d_A(x)$ . Pour chaque entier naturel $n$ , il existe $a_n\in A$ tel que $d\leqslant \|x-a_n\|\leqslant d+ \frac{1}{n}$ .

La suite $(a_n)_{n\in\Nn}$ est bornée. En effet, $\forall n\in\Nn^*$ $\|a_n\|\leqslant \|a_n-x\|+\|x\|\leqslant d+ \frac{1}{n}+\| x\|\leqslant d+\|x\|+1$ .

Puisque $E$ est de dimension finie, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de la suite $(a_n)_{n\geqslant1}$ une suite $(a_{\varphi(n)})_{n\geqslant1}$ convergeant vers un certain élément $a$ de $E$ .

Ensuite, puisque $A$ est fermée, on en déduit que $a\in A$ . Puis, comme

$\forall n\in\Nn^*$ , $d\leqslant\|x-a_{\varphi(n)}\| \leqslant d+ \frac{1}{\varphi(n)}$ ,

et puisque $\varphi(n)$ tend vers l’infini quand $n$ tend vers $+\infty$ , on obtient quand $n$ tend vers l’infini, $d =\lim_{n \rightarrow +\infty}\|x-a_{\varphi(n)}\|$ . Maintenant on sait que l’application $y\mapsto\|y\|$ est continue sur l’espace normé $(E,\|\;\|)$ et donc

$\lim_{n \rightarrow +\infty}\left\|x-a_{\varphi(n)}\right\|=\left\|x-\lim_{n \rightarrow +\infty}a_{\varphi(n)}\right\|=\|x-a\|$ .

On a montré qu’il existe $a\in A$ tel que $d_A(x)=\|x-a\|$ .

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