Posons \(d=d_A(x)\). Pour chaque entier naturel \(n\), il existe \(a_n\in A\) tel que \(d\leqslant \|x-a_n\|\leqslant d+ \frac{1}{n}\).

La suite \((a_n)_{n\in\Nn}\) est bornée. En effet, \(\forall n\in\Nn^*\) \(\|a_n\|\leqslant \|a_n-x\|+\|x\|\leqslant d+ \frac{1}{n}+\| x\|\leqslant d+\|x\|+1\).

Puisque \(E\) est de dimension finie, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de la suite \((a_n)_{n\geqslant1}\) une suite \((a_{\varphi(n)})_{n\geqslant1}\) convergeant vers un certain élément \(a\) de \(E\).

Ensuite, puisque \(A\) est fermée, on en déduit que \(a\in A\). Puis, comme

\(\forall n\in\Nn^*\), \(d\leqslant\|x-a_{\varphi(n)}\| \leqslant d+ \frac{1}{\varphi(n)}\),

et puisque \(\varphi(n)\) tend vers l’infini quand \(n\) tend vers \(+\infty\), on obtient quand \(n\) tend vers l’infini, \(d =\lim_{n \rightarrow +\infty}\|x-a_{\varphi(n)}\|\). Maintenant on sait que l’application \(y\mapsto\|y\|\) est continue sur l’espace normé \((E,\|\;\|)\) et donc

\(\lim_{n \rightarrow +\infty}\left\|x-a_{\varphi(n)}\right\|=\left\|x-\lim_{n \rightarrow +\infty}a_{\varphi(n)}\right\|=\|x-a\|\).

On a montré qu’il existe \(a\in A\) tel que \(d_A(x)=\|x-a\|\).

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